甘肃省定西市岷县、临洮县2023年中考模拟数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $7$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $7$ D、 $- 7$

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2. 下列各式中结果为负数的是（）

A、 $- (- 3)$ B、 $- 3^{2}$ C、 $(- 3)^{2}$ D、 $| - 3 |$

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3. 如图，直线 $a / / b$ ， $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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4. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有 $4000$ 多年历史． $2017$ 年 $5$ 月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人 $A l p h a G o$ 进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列式子计算正确的是（）

A、 $3 a - 4 a = - a$ B、 $(a b - 1) = a^{2} b^{2} - 1$ C、 $(3 a)^{2} = 6 a^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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6. $5 G$ 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶 $.$ 据预测， $2020$ 年到 $2030$ 年中国 $5 G$ 直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示 $.$ 根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（）

A、 $2030$ 年 $5 G$ 间接经济产出比 $5 G$ 直接经济产出多 $4.2$ 万亿元 B、 $2020$ 年到 $2030$ 年 $5 G$ 直接经济产出和 $5 G$ 间接经济产出都是逐年增长 C、 $2022$ 年到 $2023$ 年与 $2023$ 年到 $2024$ 年 $5 G$ 间接经济产出的增长率相同 D、 $2030$ 年 $5 G$ 直接经济产出约为 $2020$ 年 $5 G$ 直接经济产出的 $13$ 倍

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7.
如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）

A、5m B、12m C、13m D、18m

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8. 如图，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ A O B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A O' B'$ ，则点 $B$ 的对应点 $B'$ 坐标为（）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(7 ， 4)$ C、 $(7 ， 3)$ D、 $(3 ， 7)$

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9.
如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）

A、 $\frac{17}{12}$ πm² B、 $\frac{17}{6}$ πm² C、 $\frac{25}{4}$ πm² D、 $\frac{77}{12}$ πm²

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10. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ 、动点 $P$ 从点 $B$ 出发，在线段 $B C$ 上匀速运动，到达点 $C$ 时停止设点 $P$ 运动的路程为 $x$ ，线段 $O P$ 的长为 $y$ ，如果 $y$ 与 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示，则矩形 $A B C D$ 的面积是（）

A、60 B、48 C、24 D、12

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分解因式： $2 a^{2} - 2 =$ ．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， A D$ 上， $A F = E C$ ．只需添加一个条件即可证明四边形 $A E C F$ 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．

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14. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数 $2$ 的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点 $A$ 和点 $B$ ，则点 $A$ 表示的数是．

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15. 声音在空气中的传播速度

v (m / s)

与温度

t (℃)

的关系如表：

温度 $(℃)$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
速度 $v (m / s)$	$331$	$336$	$341$	$346$	$351$

则速度 $v$ 与温度 $t$ 之间的关系式为；当 $t = 30 ℃$ 时，声音的传播速度为 $m / s$ ．

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16. 如图，点A、B、C在 $⊙ O$ 上， $B C = 6$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径为.

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三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{20} - {(1 + \sqrt{5})}^{2}$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 3 \leq 1 \\ \frac{x + 1}{3} > - 1 \end{array}$ ，并将解集在数轴上表示出来．

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19. 已知： $x^{2} + 3 x = 1$ ，求代数式 $\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 2} - \frac{x - 2}{x + 1}$ 的值.

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20. 作图题 $($ 要求：尺规作图，写出作法并保留作图痕迹 $)$
已知：线段 $a$ 、 $b$ ．
求作：等腰 $△ A B C$ ，使 $A B = A C$ ， $B C = a$ ， $B C$ 边上的高 $A D = b$ ．

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21. 小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．

(1)、请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；

(2)、这个游戏公平吗？请说明理由．

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22.
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

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23.

4

月

23

日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取

20

学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下

(

单位：

m i n)

：

$30$	$60$	$81$	$50$	$44$	$110$	$130$	$146$	$80$	$100$
$60$	$80$	$120$	$140$	$75$	$81$	$10$	$30$	$81$	$92$

二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：

课外阅读时间 $x (m i n)$	$0 \leq x < 40$	$40 \leq x < 80$	$80 \leq x < 120$	$120 \leq x < 160$
等级	$D$	$C$	$B$	$A$
人数	$3$	$a$	$8$	$b$

三、分析数据，补全下列表格中的统计量：

平均数	中位数	众数
$80$	$c$	$81$

四、得出结论：
$①$ 表格中的数据： $a =$      ▲     ， $b =$      ▲  ， $c =$      ▲  ；
$②$ 用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为     ▲  ；
$③$ 如果该校现有学生 $400$ 人，估计等级为“ $B$ ”的学生有     ▲  人；
$④$ 假设平均阅读一本课外书的时间为 $320$ 分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年 $($ 按 $52$ 周计算 $)$ 平均阅读     ▲  本课外书．

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24. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 4)$ ，点 $B (- 4 ， n)$ ．

(1)、求 $n$ 和 $b$ 的值；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 $x$ 的取值范围．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C B$ ， $C D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $D$ ，连接 $O C$ ，点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，延长 $A D$ ， $E C$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $F A / / C O$ ；

(2)、若 $F A = F E$ ， $C D = 4$ ， $B E = 2$ ，求 $F A$ 的长．

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26.

(1)、问题发现
如图 $1$ ， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上，连接 $B E$ ．
填空： $① ∠ A E B$ 的度数为； $②$ 线段 $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系为．

(2)、拓展探究
如图 $2$ ， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ，请判断 $∠ A E B$ 的度数及线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

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27. 已知抛物线 $y = a x^{2} + c (a \neq 0)$ 过点 $P (3 ， 0) ， Q (1 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点A在直线 $P Q$ 上且在第一象限内，过A作 $A B ⊥ x$ 轴于B，以 $A B$ 为斜边在其左侧作等腰直角 $A B C$ ．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标．

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