甘肃省陇南市西和县2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $4$ 的倒数是（）

A、 $4$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- 4$

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2. $C_{60}$ 的发现使人类了解到一个全新的碳世界 $.$ 如图是 $C_{60}$ 的分子结构图，包括 $20$ 个正六边形和 $12$ 个正五边形，其中正五边形的一个内角的大小是（）

A、 $72 °$
B、 $90 °$
C、 $108 °$
D、 $120 °$

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3. 乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过 $3500$ 米 $.$ 若用 $x ($ 米 $)$ 表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则 $x$ 满足的关系为（）

A、 $x < 3500$ B、 $x \leq 3500$ C、 $x \geq 3500$ D、 $x > 3500$

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - k + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > - \frac{5}{4}$ B、 $k \geq - \frac{5}{4}$ C、 $k < \frac{5}{4}$ D、 $k \leq \frac{5}{4}$

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5. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形 $.$ 若 $\frac{A B}{E D} = \frac{2}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{O A}{A D} = \frac{2}{5}$
B、 $\frac{O B}{O E} = \frac{2}{5}$
C、 $\frac{S_{△_{A B C}}}{S_{△_{D E F}}} = \frac{2}{5}$
D、 $\frac{A C}{F E} = \frac{2}{5}$

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6. $5$ 月 $31$ 日是世界无烟日，小林为了了解所住小区成年人吸烟的人数，随机调查了 $100$ 个成年人，结果有 $16$ 个成年人吸烟 $.$ 关于此次调查，下列说法错误的是（）

A、调查的方式是抽样调查 B、样本容量是 $100$
C、小林还需要知道小区里成年人的人数 D、小林所住小区共有 $16$ 个成年人吸烟

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7. 利用圆的等分，在半径为 $3$ 的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（）

A、 $3$
B、 $3 \sqrt{3}$
C、 $4$
D、 $6$

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8. 古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则下列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 63 \\ x + 2 y = 100 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 63 \\ x + y = 100 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 63 \\ x + 2 y = 100 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 63 \\ x - 2 y = 100 \end{array}$

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9. 如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）

A、 $24 π$ B、 $21 π$ C、 $15 π$ D、 $12 π$

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10. 如图 $①$ ，动点 $P$ 从正六边形的 $A$ 点出发，沿 $A \to F \to E \to D \to C$ 以 $1 c m / s$ 的速度匀速运动到点 $C$ ，图 $②$ 是点 $P$ 运动时， $△ A C P$ 的面积 $y (c m^{2})$ 随着时间 $x (s)$ 的变化的关系图象，则正六边形的边长为（）

A、 $2 c m$ B、 $\sqrt{3} c m$ C、 $1 c m$ D、 $3 c m$

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二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 化简： $- \sqrt{8} =$ ．

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12. 分解因式： $a^{4} - 1 =$ ．

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13. 若 $a$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个解，则代数式 $\frac{a^{2}}{a - 1}$ 的值是．

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14. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线分别交 $A D$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，则图中阴影部分的面积是．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 1)$ ，以点 $O$ 为旋转中心，将点 $A$ 逆时针旋转到点 $B$ 的位置，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长为．

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16. 如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中心对称图形的概率是．

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17. 掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面 $2$ 米，当实心球行进的水平距离为 $4$ 米时达到最高点，此时离地面 $3.6$ 米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是米 $.$

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 的长为半径作弧交 $A D$ 于点 $E$ ，分别以点 $C$ 、 $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ， $∠ C B E = 60 °$ ， $B C = 4$ ，则 $B F$ 的长为．

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三、计算题

19. 计算： ${(1 - \sqrt{3})}^{0} + | - \sqrt{2} | - 2 cos 45 ° + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$

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四、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 化简： $(\frac{2}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - x}) \div \frac{x + 1}{2 x^{2} - 2 x}$ ．

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21. 今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年 $.$ 十年来，我国与 $151$ 个国家、 $32$ 个国际组织签署了 $200$ 余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息 $.$ 如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为 $A$ 地，莫斯科为 $B$ 地，雅典为 $C$ 地，若想建一个货物中转仓，使其到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置 $P$ ，保留作图痕迹，不用说明理由，并描黑作图痕迹．

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22. 人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中，对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能机器人 $.$ 如图 $(1)$ ，机器人底座 $A B$ 固定在桌面 $l ($ 桌面足够大 $)$ 上，且 $A B ⊥ l$ ， $A B = B C = 30 c m$ ， $C D = 20 c m$ ， $B C$ 和 $C D$ 可以分别绕点 $B$ ， $C$ 自由转动，且 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 始终在同一平面内 $.$ 机器人工作时，某时刻的示意图如图 $(2)$ 所示， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C D = 100 °$ ，求此时点 $D$ 到桌面 $l$ 的距离 $($ 结果保留一位小数 $)$ ．
参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 20 ° \approx 0.36$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ．

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23. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．

(1)、甲选择“校园安全”主题的概率为；

(2)、请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．

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24. “垃圾分类新时尚，文明之风我先行”

.

某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作

.

新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了

50

名居民进行线上垃圾分类知识测试

.

将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：

a .

线上垃圾分类知识测试频数分布表

成绩分组	频数
$50 \leq x < 60$	$3$
$60 \leq x < 70$	$9$
$70 \leq x < 80$	$m$
$80 \leq x < 90$	$12$
$90 \leq x < 100$	$8$

b.成绩在 $80 \leq x < 90$ 这一组的成绩为 $80$ ， $81$ ， $82$ ， $83$ ， $83$ ， $85$ ， $86$ ， $86$ ， $87$ ， $88$ ， $88$ ， $89$ ．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中

m

的值为；

(2)、请补全频数分布图；

(3)、小到居住的社区大约有居民

2000

人，若测试成绩达到

80

分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为人；

(4)、若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章

.

已知居民

A

的得分为

87

分，请说明居民

A

是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？

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25. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $△ A B O$ 的边 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $A O$ 的中点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $A D = 3 .$ 若点 $D$ 的坐标为 $(4 ， n)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式．

(2)、设点 $E$ 是 $x$ 轴上一动点，若 $△ C E B$ 的面积等于 $6$ ，求点 $E$ 的坐标．

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26. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $O D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $O D$ 的延长线于点 $P$ ，连接 $P C$ 并延长与 $A B$ 的延长线交于点 $E$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $P C = 6$ ， $t a n E = \frac{3}{4}$ ，求 $B E$ 的长．

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27. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)、问题发现：如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C .$ 点 $P$ 是底边 $B C$ 上一点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为腰作等腰 $R t △ A P Q$ ，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，连接 $C Q$ 、则 $B P$ 和 $C Q$ 的数量关系是；

(2)、变式探究：如图 $2$ ， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C .$ 点 $P$ 是腰 $A B$ 上一点，连接 $C P$ ，以 $C P$ 为底边作等腰 $R t △ C P Q$ ，连接 $A Q$ ，判断 $B P$ 和 $A Q$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决；如图 $3$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $10$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 上一点，以 $D P$ 为对角线作正方形 $D E P Q$ ，连接 $A Q .$ 若设正方形 $D E P Q$ 的面积为 $y$ ， $A Q = x .$ 求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

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28. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与坐标轴相交于 $A (0 ， - 2)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，点D为直线 $A B$ 下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G； $D G$ 交直线 $A B$ 于点E．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、求 $E D$ 的最大值；

(3)、过点B的直线 $y = - 2 x + 8$ 交y轴于点C，交直线 $D G$ 于点F，H是y轴上一点，当四边形 $B E H F$ 是矩形时，求点H的坐标．

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