甘肃省武威市2023年中考一模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 2023的绝对值为（）

A、2023 B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 一个等腰三角形的顶角是 $50 °$ ，则它的底角的大小是（）

A、 $50 °$ B、 $65 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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3. 代数式 $\frac{\sqrt{x - 5}}{x - 6}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 5$ B、 $x ≥ 5$ C、 $x > 5$ 且 $x \neq 6$ D、 $x ≥ 5$ 且 $x \neq 6$

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4. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为 $- 2$ 和 $3$ ，则分解因式 $x^{2} + b x + c$ 等于（）

A、 $(x + 2) (x - 3)$ B、 $(x - 2) (x + 3)$ C、 $(x - 2) (x - 3)$ D、 $(x + 2) (x + 3)$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 上的点， $D E / / B C$ ，若 $\frac{A D}{B D} = \frac{3}{1}$ ，那么 $\frac{D E}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$
B、 $\frac{1}{2}$
C、 $\frac{3}{4}$
D、 $\frac{2}{3}$

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6. 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有 $50$ 名同学参加了学校组织的 $2022$ 年“生活垃圾分类回收”的考试 $.$ 考试规定成绩大于等于 $86$ 分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（）

参加人数
平均数
中位数
方差
甲
          $50$
          $85$
          $83$
          $5.1$
乙
          $50$
     $85$
     $85$
     $4.6$

A、甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B、小高得 $84$ 分将排在甲班的前 $25$ 名
C、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 D、甲班成绩优异的人数比乙班多

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7. 生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举 $.$ 如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是 $4 c m$ ，则这个正六边形的半径 $R$ 和扳手的开口 $a$ 的值分别是（）

A、 $2 c m$ ， $2 \sqrt{3} c m$ B、 $4 c m$ ， $4 \sqrt{3} c m$ C、 $4 c m$ ， $2 \sqrt{3} c m$ D、 $4 c m$ ， $\sqrt{3} c m$

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8. 为响应承办“绿色奥运”的号召，某校计划组织七年级部分同学参加义务植树 $180$ 棵 $.$ 由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了 $50 %$ ，结果每人比原计划少栽了 $2$ 棵 $.$ 若设原计划有 $x$ 人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程为（）

A、 $\frac{180}{x} + \frac{180}{1.5 x} = 2$ B、 $\frac{180}{x} + \frac{180}{0.5 x} = 2$ C、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{1.5 x} = 2$ D、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{0.5 x} = 2$

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9. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 是 $O B$ 的中点，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ ，交半圆于点 $D$ ，则 $\overset{⏜}{B D}$ 与 $\overset{⏜}{A D}$ 的长度的比为（）

A、 $1$ ： $2$ B、 $1$ ： $3$ C、 $1$ ： $4$ D、 $1$ ： $5$

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10. 如图 $①$ ，在矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上有一点 $E$ ，连结 $A E$ ，点 $P$ 从顶点 $A$ 出发，沿 $A \to D \to C$ 以 $1 c m / s$ 的速度匀速运动到点 $C .$ 图 $②$ 是点 $P$ 运动时， $△ A P E$ 的面积 $y (c m^{2})$ 随时间 $x (s)$ 变化的函数图象，则 $B E$ 的长为（）

A、 $5 c m$ B、 $4 c m$ C、 $3 c m$ D、 $2 c m$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 计算： $| t a n 60 ° - 2 | =$ ．

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12. 因式分解： $a^{2} - 169 =$ ．

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13. 若方程 $(k + 2) x^{| k + 1 |} + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，则 $k + 2023 =$ ．

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14. 如图，已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的长为 $10 cm$ ，顺次连结各边中点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 得四边形 $E F G H$ ，则四边形 $E F G H$ 的周长为 $cm$ .

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15. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上的三个点， $∠ A B C = 25 °$ ，则 $∠ O A C$ 的度数是．

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16. 某机器零件的尺寸标注如图所示，在其主视图，左视图和俯视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．

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17. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的 $($ 如图 $)$ ，水柱的最高点为 $P$ ， $A B = 2 m$ ， $B P = 9 m$ ，水嘴高 $A D = 5 m$ ，则水柱落地点 $C$ 到水嘴所在墙的距离 $A C$ 是 $m .$

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18. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，将 $△ D A E$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $B D$ 上的点 $A'$ 处，则 $A E$ 的长为．

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三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 计算： $\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ ．

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四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 化简： $\frac{x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 4 + \frac{4}{x})$ ．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、作图：在 $A C$ 上找一点 $D$ ，使得点 $D$ 到 $A B$ 、 $B C$ 两边的距离相等； $($ 尺规作图，保留痕迹 $)$

(2)、若 $A B$ 的垂直平分线交线段 $A C$ 于点 $E$ ，且 $△ B C E$ 的周长是 $12$ ， $B C = 5$ ，则 $A B =$ ．

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22. 线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动 $.$ 如图，当张角 $∠ A O B = 150 °$ 时，顶部边缘 $A$ 处离桌面的高度 $A C$ 的长为 $11 c m$ ，此时用眼舒适度不太理想 $.$ 小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角 $∠ A' O B = 108 °$ 时 $($ 点 $A'$ 是 $A$ 的对应点 $)$ ，用眼舒适度较为理想 $.$ 求此时顶部边缘 $A'$ 处离桌面的高度 $A' D$ 的长 $. ($ 结果精确到 $1 c m$ ；参考数据： $s i n 18 ° \approx 0.31$ ， $c o s 18 ° \approx 0.95$ ， $t a n 18 ° \approx 0.32)$

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23. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境 $.$ 为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．

(1)、甲组抽到 $A$ 小区的概率是；

(2)、请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 $A$ 小区，同时乙组抽到 $C$ 小区的概率．

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24. 受疫情影响， $2022$ 年下半学期很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动，为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑，手机，电视，其他”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查；调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：

(1)、本次调查抽取的总人数是人，在扇形统计图中，“电视”所对应的扇形的圆心角的度数为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该校九年级共有 $1200$ 名学生，估计有多少名同学用电脑上课？

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25. 如图，直线 $y = - 2 x + 8$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象交于 $A (m ， 6)$ ， $B (3 ， n)$ 两点．

(1)、求 $m + n - k$ 的值；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，连接 $A P$ ， $B P$ ，使 $A P + B P$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标．

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26. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A B C = 60 °$ ，直线 $A D / / B C$ ， $A D = A B$ ，点 $O$ 在 $B D$ 上．

(1)、判断直线 $A D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $4$ ，求弦 $B C$ 的长．

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27. 如图，▱ $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上的一个动点 $($ 不与 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，过点 $E$ 作直线 $A B$ 的垂线，垂足为 $F$ ， $F E$ 与 $D C$ 的延长线相交于点 $G$ ．

(1)、若 $E$ 为 $B C$ 中点，求证： $B F = C G$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $B C = 10$ ， $∠ B = 60 °$ ，当点 $E$ 在线段 $B C$ 上运动时， $F G$ 的长度是否改变？若不变，求 $F G$ ；若改变，请说明理由；

(3)、在 $(2)$ 的条件下， $H$ 为直线 $A D$ 上的一点，设 $B E = x$ ，若 $A$ 、 $B$ 、 $E$ 、 $H$ 四点构成一个平行四边形，请用含 $x$ 的代数式表示 $B H$ ．

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28. 二次函数图象的顶点在原点 $O$ ，经过点 $A (1 ， \frac{1}{4})$ ；点 $F (0 ， 1)$ 在 $y$ 轴上，直线 $y = - 1$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点 $P$ 是抛物线上的点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与直线 $y = - 1$ 交于点 $M$ ，求证： $P F = P M$ ；

(3)、当 $△ F P M$ 时等边三角形时，求 $P$ 点的坐标．

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	参加人数	平均数	中位数	方差
甲	$50$	$85$	$83$	$5.1$
乙	$50$	$85$	$85$	$4.6$