北京市重点大学附中2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 正五边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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3. 如图， $A D$ 是 $∠ C A E$ 的平分线， $∠ B = 35 °$ ， $∠ D A E = 60 °$ ，则 $∠ A C B =$ （）

A、 $25 °$ B、 $60 °$ C、 $85 °$ D、 $95 °$

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4. 已知二元一次方程 $x + 7 y = 5$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，正确的是（）

A、 $y = \frac{5 + x}{7}$ B、 $y = \frac{5 - x}{7}$ C、 $x = 5 + 7 y$ D、 $x = 5 - 7 y$

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5. 以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是 $(6 ， 0)$ 和 $(4 ， 4)$ ．如图1，甲的游览路线是： $O \to B \to A$ ，其折线段的路程总长记为 $l_{1}$ ．如图2，景点C和D分别在线段 $O B ， B A$ 上，乙的游览路线是： $O \to C \to D \to A$ ，其折线段的路程总长记为 $l_{2}$ ．如图3，景点E和G分别在线段 $O B ， B A$ 上，景点F在线段 $O A$ 上，丙的游览路线是： $O \to E \to F \to G \to A$ ，其折线段的路程总长记为 $l_{3}$ ．下列 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $l_{1} = l_{2} = l_{3}$ B、 $l_{1} < l_{2}$ 且 $l_{2} = l_{3}$ C、 $l_{2} < l_{1} < l_{3}$ D、 $l_{1} > l_{2}$ 且 $l_{1} = l_{3}$

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6. 如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A、CB=CD B、∠BAC=∠DAC C、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90°

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7. $2023$ 年国家统计局公布了 $《 2022$ 年国民经济和社会发展统计公报 $》 .$ 公报显示了全国 $2018$ 年至 $2022$ 年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局 $2022$ 年发布的相关信息，绘制了如下的统计图 $.$ 根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（）
$①$ 与 $2018$ 年相比， $2019$ 年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
      $②$ 从 $2018$ 年到 $2022$ 年，进口额最多的是 $2022$ 年；
      $③ 2018 - 2022$ 年进口额年增长率持续下降；
      $④$ 与 $2021$ 年相比， $2022$ 年出口额增加了 $2.3$ 万亿元．

A、 $① ② ④$ B、 $① ② ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ③ ④$

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8. 已知 $a - 1 > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- 1 < - a < a < 1$ B、 $- a < - 1 < 1 < a$ C、 $- a < - 1 < a < 1$ D、 $- 1 < - a < 1 < a$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 已知关于 $x$ 的不等式 $x - a \leq - 2$ 的解集如图所示，那么 $a$ 的值是．

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10. 计算： $\sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4} =$ ．

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11. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 5 a \\ x + 4 y = 2 a + 3 \end{array}$ 满足 $x - y > 0$ ，则a的取值范围是.

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12. 已知 $2 a + 5 b = 3$ ， $3 c - a = 2 b$ ，则用含 $b$ 的式子表示 $c$ 为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ 1 = 100 °$ ， $∠ C = 80 °$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ 3$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C .$ 则 $∠ 4$ 的度数为．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折后得到 $△ A E D$ ，边 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F .$ 若 $∠ C - ∠ B = 50 °$ ， $∠ B A D = x ° (0 < x \leq 45)$ ．

(1)、则 $∠ B$ 的度数为；

(2)、若 $△ D E F$ 中有两个角相等，则 $x =$ ．

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15. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．

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16. 某陶艺工坊有

A

和

B

两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．

尺寸

数量 $($ 个 $)$

款式

大

中

小

$A$

$8$

$15$

$25$

$B$

$0$

$10$

$20$

烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．

某批次需要生产 $10$ 个大尺寸陶艺品， $50$ 个中尺寸陶艺品， $76$ 个小尺寸陶艺品．

(1)、烧制这批陶艺品，

A

款电热窑至少使用次；

(2)、若

A

款电热窑每次烧制成本为

55

元，

B

款电热窑每次烧制成本为

25

元，则烧制这批陶艺品成本最低为元

.

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三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x > \frac{x + 2}{3} \\ 5 x - 3 < 5 + x \end{array}$ ；

(2)、已知方程 $y = k x + b$ ，当 $x = 2$ 时 $y = 4$ ，当 $x = - 2$ 时 $y = - 2$ ，求 $k$ 和 $b$ 的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 如图所示，

(1)、画出 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高线 $A D$ ，在 $∠ A D C$ 内部作射线 $D E$ 使得 $∠ E D C = ∠ C$ ，交 $A C$ 边于点 $E$ ，请你依题意补全图形；

(2)、判断 $∠ D A E$ 与 $∠ A D E$ 之间的关系，并说明理由．

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19. 如图，点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在直线 $l$ 上 $(F ， C$ 之间不能直接测量 $)$ ，点 $A$ ， $D$ 在 $l$ 异侧，测得 $A B = D E$ ， $A B / / D E$ ， $∠ A = ∠ D .$ 求证： $B F = C E$ ．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (0 ， 4)$ ， $B (2 ， 7)$ ， $C (5 ， 4)$ ．

(1)、在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；

(2)、点 $A$ 经过平移后对应点为 $D (5 ， - 1)$ ，将 $△ A B C$ 作同样的平移得到 $△ D E F$ ，画出平移后的 $△ D E F$ ；

(3)、在（2）的条件下，点 $M$ 在直线 $C D$ 上，若 $C M = 2 D M$ ，直接写出点 $M$ 的坐标；

(4)、在（2）的条件下，已知 $a > 0$ ，点 $P (5 + a ， 0)$ ，点 $Q (5 - a ， 0)$ ， $△ D P Q$ 所围成的区域内 $($ 包括边界 $)$ 恰有 $6$ 个整点，求 $a$ 的取值范围．

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21. 如图， $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， E点为射线 $C B$ 上一动点，连结 $A E$ ，作 $A F ⊥ A E$ 且 $A F = A E$ ．

(1)、如图1，过F点作 $F D ⊥ A C$ 交 $A C$ 于D点，求证： $F D = B C$ ；

(2)、如图2，连结 $B F$ 交 $A C$ 于G点，若 $A G = 3$ ， $C G = 1$ ，求证：E点为 $B C$ 中点．

(3)、当E点在射线 $C B$ 上，连结 $B F$ 与直线 $A C$ 交于G点，若 $B C = 4$ ， $B E = 3$ ，则 $\frac{A G}{C G} =$ ．（直接写出结果）

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22. 已知点 $M$ 和图形 $W$ ， $Q$ 为图形 $W$ 上一点，若存在点 $P$ ，使得点 $M$ 为线段 $P Q$ 的中点 $(P ， Q$ 不重合 $)$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 关于点 $M$ 的倍点．
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (1 ， - 1)$ ， $D (1 ， 1)$ ．

(1)、若点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则在 $P_{1} (3 ， 0)$ ， $P_{2} (4 ， 2)$ ， $P_{3} (5 ， 1)$ 中，是正方形 $A B C D$ 关于点 $M$ 的倍点的是；

(2)、点 $N$ 的坐标为 $(2 ， t)$ ，若在第一三象限的角平分线才存在正方形 $A B C D$ 关于点 $N$ 的倍点，求 $t$ 的取值范围；

(3)、已知点 $E (0 ， b)$ ， $F (- b ， 0)$ ，若线段 $E F$ 上的所有点均可成为正方形 $A B C D$ 关于其边上某一点的倍点，直接写出点 $b$ 的取值范围．

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