四川省成都市新都区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 2023年全国城市节约用水宣传周活动时间为5月14日至20日，成都市宣传主题为“推进城市节水，建设宜居城市”，如图所示倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 手机处理器工艺制程是指手机处理器内部集成电路的精细程度，工艺制程数字越小，越先进、耗电量也越低，并且发热量也更少．某款国内厂商最近发布的手机处理器拥有顶尖的5nm（ $5 n m = 0.000000005 m$ ）制程和架构设计．用科学记数法表示0.000000005为（）

A、 $0.5 \times 1 0^{- 8}$ B、 $5 \times 1 0^{- 9}$ C、 $5 \times 1 0^{- 10}$ D、 $5 \times 1 0^{- 8}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 如图， $A D ∥ C B$ ， $∠ B = 30 °$ ， $D B$ 平分 $∠ A D E$ ，则 $∠ D E C$ 为（）

A、 $120 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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5. 三角形的两边长分别是7，15，则此三角形第三边的长不可能是（）

A、7 B、9 C、15 D、21

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6. 下列各式能用平方差公式计算的是（）

A、 $(2 a + b) (2 b - a)$ B、 $(1 + \frac{1}{2} x) (\frac{1}{2} x - 1)$ C、 $(a + b) (a - 2 b)$ D、 $(2 x - 1) (- 2 x + 1)$

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7. 下列说法正确的是（）

A、某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B、篮球运动员在罚球线投篮一次投中是必然事件 C、从装有5个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 D、经过红绿灯路口遇到绿灯是随机事件

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8. 如图，已知 $C A = C D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：
① $B C = E C$ ， ② $∠ B = ∠ E$ ， ③ $A B = D E$ ， ④ $∠ A = ∠ D$ ，
能使 $△ A B C ≌ △ D E C$ 的条件的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 已知a^m＝6，aⁿ＝2，则a^m-n＝.

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10. 作为“中国名柚之乡”，2022年新都柚产量达到了1500吨以上，如表是一段时间在集贸市场卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系表：

重量 $x / k g$	1	2	3	…
售价y/元	$10 + 1$	$20 + 1$	$30 + 1$	…

根据表中数据可知，售价y（元）与重量 $x (k g)$ 之间的关系式为（不考虑x的取值范围）．

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11. 一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为个．

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 $M N$ ，交 $B C$ 于点D，连接 $A D$ ，则 $∠ A D B =$ 度．

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13. 学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
      $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
      $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；
      $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；
      $⋯$
      $(x - 1) (x^{n} + {x^{n}}^{- 1} + {x^{n}}^{- 2} + ⋯ + x^{2} + x + 1) = {x^{n}}^{+ 1} - 1$ ．
请你利用发现的规律计算： $2^{2022} + 2^{2021} + 2^{2020} + ⋯ + 2^{2} + 2 + 1 =$ ．

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三、解答题

14.

(1)、计算： ${(x - 3.14)}^{0} - {(- 1)}^{2023} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | - 5 |$ ；

(2)、已知 $a = 2$ ， $b = - 1$ ，求 ${(2 a + b)}^{2} - 2 (a - 2 b) (a + 2 b) + (b - 2 a) (b + a)$ 的值．

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15. 如图， $△$ ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．

⑴画 $△$ A₁B₁C₁ ，使它与 $△$ ABC关于直线l成轴对称；

⑵求 $△$ ABC的面积；

⑶在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．

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16. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，新都区某中学开展“爱成都，迎大运”系列宣传活动，其中采取网络问卷的方式随机调查了本校部分学生对“A足球，B篮球，C乒乓球，D羽毛球”四种球类运动的喜爱程度，让学生投票选出自己最喜爱的一个运动，并对调查结果进行了整理，绘制出如所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、这次活动共调查了 ▲ 人，请补全条形统计图；

(2)、求扇形统计图中D区域的圆心角的度数；

(3)、根据调查结果，估计该校1200名学生中喜欢蓝球的共有多少人？

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17. 学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知 $R t △ E D F$ 中， $∠ D = 90 ° ， ∠ F = 60 °$ ．请根据他们的叙述条件完成题目．

(1)、若 $△ A C B$ 为等腰直角三角形，且 $∠ C = 90 ° ， ∠ A = 45 °$ ；
①甲同学：如图1， $R t △ A C B$ 和 $R t △ E D F$ 的直角边 $D E ， B C$ 在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边 $C F$ 与 $A B$ 相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；

②乙同学：如图2， $R t △ A C B$ 和 $R t △ E D F$ 直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 $A B$ 与斜边 $E F$ 互相平行，求 $∠ E P B$ 的度数，并写出解答过程；

(2)、若 $△ A C B$ 为等腰三角形，已知 $A C = B C$ ．
丙同学：如图3，若 $R t △ E D F$ 直角顶点D恰好与 $△ A C B$ 底边 $A B$ 的中点重合， $R t △ E D F$ 的斜边 $E F$ 经过 $△ A C B$ 的顶点C，若 $E F ∥ A B$ ，设 $∠ A C B = x$ ，请用含x的式子表示 $∠ E P B$ 的度数，并写出解答过程．

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18. 如图1， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ，先将边 $B C$ 沿过点B的直线l对折得到 $B D$ ，连接 $C D$ ，然后以 $C D$ 为边在左侧作 $△ C D E$ ，其中 $∠ C D E = 90 °$ ， $C D = D E$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点F，连接 $B E$ ， $A D$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B D E$ ；

(2)、如图2，当点D在 $△ A B C$ 的斜边 $A B$ 上时，请直接写出用 $B C ， B E$ 表示 $A B$ 的关系式；

(3)、如图3，当点D在 $△ A B C$ 的内部时，若点F为 $B D$ 的中点，且 $△ A C D$ 的面积为10，求 $△ C D F$ 的面积．

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四、填空题

19. 已知： $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ .

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20. 汽车的刹车距离 $d$ 米与汽车行驶速度 $v$ 千米/小时和路面的摩擦系数 $f$ 有关，它们之间满足经验公式 $v^{2} = 250 d f$ ．经测试，某型小客车在行驶速度 $v = 50$ 千米/小时的情况下，紧急刹车直至停止，刹车距离为16米，则路面的摩擦系数 $f$ 为．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，线段 $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 边于点 $E$ ，过点 $F$ 作 $F D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，若 $∠ C - ∠ B = 36 °$ ，则 $∠ F =$ 度．

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22. 将 $24 \times 25 \times 26 \times 27 + 1$ 表示成一个自然数的平方，则这个自然数是；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即 $a \times (a + 1) \times (a + 2) \times (a + 3) + 1 = A^{2}$ ，其中a为正整数，那么这个自然数 $A =$ ．

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23. 如图，将两个正方形拼在一起，A，B，E在同一直线上，连接 $D E ， D G ， G E$ ，当 $B E = 1$ 时， $△ D G E$ 的面积记为 $S_{1}$ ，当 $B E = 2$ 时， $△ D G E$ 的面积记为 $S_{2}$ ， $⋯$ ，以此类推，当 $B E = n$ 时， $△ D G E$ 的面积记为 $S_{n}$ ，则 $S_{2024} - S_{2023} + S_{2022} - S_{2021} + ⋯ + S_{2} - S_{1} =$ ．

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五、解答题

24. 我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)、图中所表示的数学等式为；

(2)、利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知 $13 x^{2} - 6 x y + y^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，求 $(x + y)^{2024} \cdot x^{2023}$ 的值；
②已知 $(x - 2022)^{2} + (2023 - x)^{2} = 25$ ，求 $(x - 2022) (2023 - x)$ 的值．

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25. 甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．

(1)、乙的速度为千米/小时；

(2)、甲提速后的速度为多少千米/小时；

(3)、当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A B ⊥ A C$ ， D，E分别为平面内两点，连接 $A D ， A E ， B D ， C E ， D E$ ，使 $∠ B A D = ∠ C A E$ 且 $A D = A E$ ．

(1)、如图1，
① $B D$ 与 $C E$ 有怎样的数量关系，请说明理由；
② $B D$ 与 $C E$ 有怎样的位置关系，请说明理由；

(2)、如图2，若延长 $B D$ 与 $C E$ 相交于H，且 $B H$ 过 $A C$ 的中点N， $∠ D A E$ 的角平分线交 $B H$ 于F，过点A作 $A M ⊥ B H$ 于M，已知 $A M = 3$ ， $B N = 7$ ， $E F ： E H = 5 ： 2$ ．设 $B D = y ， F N = x$ ，请用含x的代数式表示y．

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