吉林省长春108中2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 使分式 $\frac{3}{x - 3}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x≤3 B、x≥3 C、x≠3 D、x＝3

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2. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了 $0.000000028 m$ 工艺的国产沉浸式光刻机，数据 $0.000000028$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.28 \times 1 0^{- 9}$ B、 $2.8 \times 1 0^{- 8}$ C、 $28 \times 1 0^{- 8}$ D、 $2.8 \times 1 0^{- 7}$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (4 ， 1)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(4 ， 1)$ B、 $(- 4 ， - 1)$ C、 $(- 4 ， 1)$ D、 $(4 ， - 1)$

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4. 已知点 $(m ， 5)$ 在函数 $y = - 2 x + 1$ 的图象上，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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5. 在日常生活中，对某些技能的训练，新手的表现通常不太稳定．以下是四名学生进行8次射击训练之后的成绩统计图，请根据图中信息估计最可能是新手的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A C = 76 °$ ， $∠ A C B = 36 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $68 °$ B、 $72 °$ C、 $76 °$ D、 $104 °$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C = 6 c m$ ， $B D = 8 c m$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长为（）

A、 $10 c m$ B、 $20 c m$ C、 $12 c m$ D、 $24 c m$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $P$ 作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，点 $B$ 是 $O A$ 的中点，连结 $P B$ ，则 $△ P A B$ 的面积为（）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为.

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10. 分式 $\frac{1}{6 a b^{3}}$ 与 $\frac{2}{9 a^{2} b c}$ 的最简公分母是．

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11. 体育课中

7

名同学的“一分钟跳绳”的成绩如表

(

单位：个

/

分

)

：

姓名	李明	王红	刘丽	王佳	张强	赵桐	周馨
成绩	$178$	$183$	$180$	$181$	$183$	$183$	$178$

则这组数据的中位数是．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 13$ ， $A C = 24$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，则线段 $C E$ 的长为．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ B D$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $B E .$ 若 $∠ C O E = 20 °$ ，则 $∠ A B D =$ 度 $.$

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14. 如图是函数 $y = k_{1} x$ ， $y = \frac{k_{2}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{3}}{x}$ 在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 和 $k_{3}$ 间的大小关系为．

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三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算： $(- 1)^{2024} + 2^{- 2} - (π - 3.14)^{0}$ ．

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16. 先化简，再求值 $： (\frac{a^{2}}{a - 2} - a - 2) \div \frac{2}{a^{2} - 4}$ ，再从 $2$ ， $- 2$ ， $3$ 中选一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值．

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17. 解方程： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$ ．

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18. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E ，使CE＝DC ，连结AE ，交BC于点F ， ∠AFC＝2∠D ，连结AC、BE ．求证：四边形ABEC是矩形．

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19. 净月潭国家森林公园是长春市市民休闲、健身的好去处，是国家级全民健身户外活动基地 $.$ 公园管理单位准备对其中一段长 $2400$ 米的森林步道进行翻新，翻新 $800$ 米后，为了尽快完成任务，每天的工作效率比原计划提高 $25 %$ ，结果共用 $26$ 天完成翻新任务，求原计划每天翻新多少米森林步道？

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20. 某校为了解八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从八年一班和八年二班每班

50

人中各随机抽取

10

名学生进行测试，并对成绩

(

单位：分，满分

100

分

)

进行整理、描述和分析

.

部分信息如下：

收集数据

八年一班被抽取学生成绩：84 75 82 68 91 83 82 74 79 82

八年二班被抽取学生成绩：80 65 75 68 95 82 84 80 92 79

分析数据

根据以上信息，回答下列问题：

	平均数 $/$ 分	中位数 $/$ 分	众数 $/$ 分
八年一班被抽取学生	$80$	$b$	$82$
八年二班被抽取学生	$a$	$80$	$c$

(1)、八年一班被抽取学生成绩在

80

分以上

(

含

80

分

)

的有人

.

(2)、填空：

a =

，

b =

，

c =

．

(3)、在这次测试中，八年一班学生甲与八年二班学生乙的成绩都是

81

分，若以上分析数据恰好与两个班级整体的平均数、中位数和众数相同，请判断两位学生在各自班级的排名谁更靠前，并说明理由．

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21. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 都是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点 $. △ A B C$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．

(1)、在图 $①$ 中以 $A B$ 为边作正方形 $A B C D$ ．

(2)、在图 $②$ 中以 $A B$ 为边作菱形 $A B C D ($ 除正方形之外 $)$ ．

(3)、在图 $③$ 中以 $A B$ 为对角线作平行形 $A C B D$ ，且其面积为 $3$ ．

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22. 甲、乙两地相距 $330$ 千米，一辆货车和一辆轿车同时从甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，货车先以 $75$ 千米 $/$ 时的速度匀速行驶了 $150$ 千米后与轿车相遇，再以另一速度继续匀速行驶 $4$ 个小时到达乙地，轿车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止 $.$ 如图是货车和轿车两车各自距甲地的路程 $y (k m)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象 $($ 或部分图象 $)$ ．

(1)、补全货车的函数图象．

(2)、求两车相遇后，货车距甲地的路程 $y (k m)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系式．

(3)、直接写出当轿车到达甲地时货车距乙地的路程．

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23. 如图

(1)、【模型感知】如图 $①$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上一点 $($ 不与点 $A$ 和点 $C$ 重合 $)$ ，连结 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B E'$ ，连结 $A E'$ ，求证： $A E' = C E$ ．

(2)、【模型发展】如图 $②$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $C A$ 的延长线上一点，连结 $B E .$ 将线段 $B E$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B E'$ ，连结 $A E'$ ，线段 $A E'$ 与 $C E$ 的数量关系为， $A E'$ 与 $C E$ 所在直线的位置关系为．

(3)、【解决问题】如图 $③$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 的延长线上一点，连结 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B E'$ ，连结 $A E'$ ， $E E'$ ，若 $A C = 3 C E$ ，则 $\frac{S_{△ A E E'}}{S_{△ A B E}} =$ ．

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24. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b ($ 其中 $k$ ， $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 经过点 $A (- 1 ， 2)$ 和点 $B (- 3 ， 3)$ ．

(1)、求该直线对应的函数关系式．

(2)、当点 $C (n ， n + 2)$ 在直线 $A B$ 上时，求 $n$ 的值．

(3)、点 $D$ 是直线 $y = m x + 2 m ($ 其中 $m$ 为常数， $m \neq 0)$ 经过的定点，求点 $D$ 的坐标．

(4)、当直线 $y = m x + 2 m ($ 其中 $m$ 为常数， $m \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有交点时，求 $m$ 的取值范围．

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