山东省济南市高新区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ B、 $8 x = 2 \times 4 x$ C、 $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$

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3. 有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘 $A$ ， $B$ 两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点 $O$ ，然后取线段 $O A$ ， $O B$ 的中点 $D$ ， $E$ ，测量出 $D E = 10 m$ ，于是可以计算出池塘 $A$ ， $B$ 两点间的距离是（）

A、 $10 m$ B、 $20 m$ C、 $30 m$ D、 $40 m$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 2 ∠ B$ ，则 $∠ A$ 的度数是（　　）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $90 °$ D、 $60 °$

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6. 计算： $\frac{1}{a + 1} \cdot (a^{2} + a) =$ （）

A、a B、 $a - 1$ C、 $a + 1$ D、 $\frac{a}{a + 1}$

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7. 菱形 $A B C D$ 的对角线长分别为6和8，它的面积为（）

A、5 B、20 C、24 D、48

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8. 已知方程 $(k - 3) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 4$ B、 $k \leq 4$ C、 $k < 4$ 且 $k \neq 3$ D、 $k \leq 4$ 且 $k \neq 3$

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9. 若干辆载重为 $5 t$ 的卡车来运载货物，若每辆卡车只装 $3 t$ ，则剩下 $16 t$ 货物；若每辆卡车装5t，则最后一辆汽车不满也不空，问：可能有（）辆汽车．

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E ， PF⊥CD于点F ，连接EF ，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于 $\frac{1}{2} B D$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} y + x y =$ ．

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12. 点A（3，2）向右平移2个单位长度得到A′，则A′的坐标为.

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13. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， C D ⊥ A B$ 于D ，若 $A B = 16 cm$ ，则 $A D =$ $cm$ ．

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14. 已知方程 $\frac{5}{2 - x} = \frac{3}{x}$ ，则 $x =$ ．

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15. 小刚开学后，第一次测试数学得了70分，语文得了84分，则英语至少得分，才能使三科平均分不低于80分．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A D$ ， $B C$ 边的中点，延长 $C D$ 至点 $G$ ，使 $D G = C D$ ，以 $D G$ ， $D E$ 为边向 $▱ A B C D$ 外构造 $▱ D G M E$ ，连接 $B M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ．若 $D G = D E = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ，则 $F N$ 的长为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 10 x + 22 = 0$

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > \frac{x - 1}{2} \\ 3 x - 1 \leq 5 \end{array}$ ，并写出它的所有正整数解．

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19. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，点E ， F在对角线 $B D$ 上，且 $D F = B E$ ．求证： $A F ∥ C E$ ．

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20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点 $A (5 ， 5)$ ， $B (6 ， 3)$ ， $C (2 ， 1)$ 均在格点上．

(1)、画出将 $△ A B C$ 向左平移 $8$ 个单位长度得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} C$ ，并写出 $A_{2}$ 的坐标．

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21. 如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且 $D E ∥ B C$ ．

(1)、求证： $D B = D E$ ；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ B E D$ 的大小．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 的中点，过点A作 $A E ∥ B C$ ，且 $A E = D C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形：

(2)、若 $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，求 $C E$ 的长．

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23. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．

(1)、求A、B两种羽毛球拍每副的进价；

(2)、若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？

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24. 定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与 $11$ 的商记为 $f (a)$ ．
例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数 $21$ ，新两位数与原两位数的和为 $21 + 12 = 33$ ，和与 $11$ 的商为 $33 \div 11 = 3$ ，所以 $f (12) = 3$ ．

根据以上定义，回答下列问题：

(1)、填空：下列两位数： $40$ ， $51$ ， $66$ 中，“慧泉数”为；

(2)、计算：
① $f (13)$ ；② $f (10 a + b)$ ；

(3)、如果一个“慧泉数” $m$ 的十位数字是 $x$ ，个位数字是 $x - 4$ ，另一个“慧泉数” $n$ 的十位数字是 $x - 5$ ，个位数字是 $2$ ，且满足 $f (m) - f (n) < 8$ ，求 $x$ ．

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25. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{4}{3} x + 8$ 分别与x轴、y轴相交于点A、B ， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线，交直线 $A B$ 于点C ．

(1)、求点C的坐标；

(2)、如图2， $A H$ 是 $∠ B A O$ 的角平分线，过点B作 $A H$ 的垂线交 $A H$ 于点D ，交x轴于点E求直线 $B D$ 的解析式；

(3)、在x轴上寻找点F使得 $△ A B F$ 为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．

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26.

(1)、【探究发现】如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ⊥ B D$ ，垂足是O ，则图中出现4个直角三角形，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，则有 $A B^{2} = A O^{2} + O B^{2}$ ，据此探索 $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 的值是否相等，并说明理由．

(2)、【拓展迁移】如图2，以三角形 $A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ，求证： $C E ⊥ B G$ ．

(3)、如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE ，若 $∠ E G A = 90 ° ， G E = 6 ， A G = 8$ ，求 $B C$ 的长．

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