山东省青岛市崂山区2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 分式 $\frac{1}{x - 3}$ 有意义的条件是（）

A、 $x = - 3$ B、 $x = 3$ C、 $x \neq 3$ D、 $x \neq - 3$

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2. 已知 $a < b$ ，下列不等式中，变形正确的是（）

A、 $a - 3 > b - 3$ B、 $3 a - 1 > 3 b - 1$ C、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ D、 $- 3 a > - 3 b$

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3. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（）

A、内错角相等 B、若 $a = b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$ C、对顶角相等 D、等腰三角形两底角相等

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5. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ C、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ D、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

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6. 不等式组 ${\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 2 x - 3 \leq 1 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 用反证法证明命题“已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，则 $∠ B < 90 °$ ”时，首先应该假设（）

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $A B \neq A C$ D、 $A B \neq A C$ 且 $∠ B \geq 90 °$

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8. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

A、4，30° B、2，60° C、1，30° D、3，60°

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9. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为 $x$ 天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ B、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$ C、 $\frac{900}{x - 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$

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10. 已知： $▱ A O C D$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $O A$ 于点M ，交 $O C$ 于点N ． ②分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O C$ 内相交于点E ． ③画射线 $O E$ ，交 $A D$ 于点 $F (2 ， 3)$ ，则点A的坐标为（）

A、 $(- \frac{5}{4} ， 3)$ B、 $(3 - \sqrt{13} ， 3)$ C、 $(- \frac{4}{5} ， 3)$ D、 $(2 - \sqrt{13} ， 3)$

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二、填空题

11. 因式分解： $a b^{2} - 25 a$ ＝．

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12. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 3} + \frac{x + m}{3 - x} = 2$ 有增根，则m的值是．

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13. 如图，函数y₁＝﹣2x与y₂＝ax+3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 135 °$ ，点 $D$ 为 $A C$ 上一点， $A D$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $E$ ，将 $△ C B D$ 沿着 $B D$ 折叠，点 $C$ 恰好和点 $E$ 重合，则 $∠ A$ 的度数为．

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15. 如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝．

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16. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $O E$ ．下列结论：① $∠ C A D = 30 °$ ；② $S_{▱ A B C D} = A B \cdot A C$ ；③ $O B = A B$ ；④ $O E = \frac{1}{4} B C$ ，成立的有．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

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三、解答题

17. 已知点 $B$ 是 $∠ M A N$ 边 $A N$ 上一点．求作：点 $P$ ，使得 $P B ⊥ A N$ ，且点 $P$ 到 $∠ M A N$ 两边的距离相等．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）

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18. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为 $(1 ， 2)$ ，请解答下列问题：

(1)、作出 $△ A B C$ 绕点O的逆时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、计算 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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19. 因式分解：

(1)、 $2 x^{3} - 8 x^{2} y + 8 x y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} (a - b) + 9 y^{2} (b - a)$ ．

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20.

(1)、先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x = 3$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) \geq 5 x - 1 \\ \frac{x + 2}{3} - x < 1 \end{array}$

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21. 证明命题：如果两个锐角三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．

(1)、画出图形，写出已知，求证．

(2)、写出证明过程．

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22. 某工厂生产 $A$ 、 $B$ 两种型号的扫地机器人． $A$ 型机器人清扫 $100 m^{2}$ 所用的时间比 $B$ 型机器人多用50分钟． $B$ 型机器人比 $A$ 型机器人每小时的清扫面积多 $20 %$ ．求 $A$ 型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？

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23. 如图， $△ A B C$ 的中线 $B E$ ， $C F$ 相交于点G，点P，Q分别是 $B G$ ， $C G$ 的中点．求证：

(1)、四边形 $E F P Q$ 是平行四边形；

(2)、 $B G = 2 G E$ ．

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24. 零售经济成为社会关注的热门话题，小华从市场得知如下信息：

甲商品

乙商品

进价（元/件）

65

5

售价（元/件）

90

10

小华计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小华购进甲商品x件．

(1)、小华用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，小华希望甲乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，有哪些可行的进货方案？为获得最大利润，请你给出进货建议．

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25. 图形定义：四边形 $A B C D$ 若满足 $∠ A + ∠ C = 180 °$ ，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．

(1)、若四边形 $A B C D$ 为对角互补四边形，且 $∠ B ： ∠ C ： ∠ D = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

(2)、如图1，四边形 $A B C D$ 为对角互补四边形， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 ° ， A B = A D$ ．求证： $A C$ 平分 $∠ B C D$ ．
小云同学是这么做的：延长 $C D$ 至 $M$ ，使得 $D M = B C$ ，连 $A M$ ，可证明 $△ A B C ≌ △ A D M$ ，得到 $△ A C M$ 是等腰直角三角形，由此证明出 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ，还可以知道 $C B ， C D ， C A$ 三者关系为：；

(3)、如图2，四边形 $A B C D$ 为对角互补四边形，且满足 $∠ A B C = 60 ° ， A D = C D$ ，则 $B A ， B C$ ， $B D$ 三者关系为：．

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26. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，长方形 $O A C B$ 的顶点 $A ， B$ 分别在 $x$ 轴与 $y$ 轴上，已知 $O A = 6 ， O B = 10$ ．点 $D$ 为 $y$ 轴上一点，其坐标为 $(0 ， 2)$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发以每秒2个单位的速度沿线段 $A C - C B$ 的方向运动，当点 $P$ 与点 $B$ 重合时停止运动，运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $P$ 经过点 $C$ 时，求直线 $D P$ 的函数解析式；

(2)、求 $△ O P D$ 的面积 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式；

(3)、点 $P$ 在运动过程中是否存在使 $△ B D P$ 为等腰三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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	甲商品	乙商品
进价（元/件）	65	5
售价（元/件）	90	10