北京市石景山区2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某几何体的三视图如图，则该几何体是（）

A、圆柱
B、圆锥
C、长方体
D、三棱柱

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2. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $| a | > b$ C、 $a + b > 0$ D、 $a < - 3$

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3. 若一个多边形的内角和为 $540 °$ ，则该多边形的边数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ ， $N$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点， $M N / / B C$ ， $B M = 2 A M .$ 若 $△ A M N$ 的面积为 $1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $9$

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5. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上的点， $\overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{D C} .$ 若 $∠ C B D = 35 °$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $70 °$

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6. 一组数据： $1$ ， $2$ ， $5$ ， $0$ ， $2$ ，若添加一个数据 $2$ ，则发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．

下面有四个推断：
$①$ 当移植的棵树是 $800$ 时，成活的棵树是 $688$ ，所以“移植成活”的概率是 $0.860$ ；
$②$ 随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在 $0.852$ 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是 $0.852$ ；
$③$ 与试验相同条件下，若移植 $10000$ 棵这种树苗，可能成活 $8520$ 棵；
$④$ 在用频率估计概率时，移植 $3000$ 棵树时的频率 $0.852$ 一定比移植 $2000$ 棵树时的频率 $0.853$ 更准确
其中合理的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $② ③$ D、 $② ④$

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8. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 10 .$ 点 $P$ 是 $C B$ 边上一动点 $($ 不与
点 $C$ ， $B$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ C B$ 交 $A B$ 于点 $Q .$ 设 $C P = x$ ， $B Q$ 的长为 $y$ ， $△ B P Q$
的面积为 $S$ ，则 $y$ 与 $x$ ， $S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别为（）

A、一次函数关系，二次函数关系
B、反比例函数关系，二次函数关系
C、一次函数关系，反比例函数关系
D、反比例函数关系，一次函数关系

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围为．

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10. 分式方程 $\frac{2}{x + 3} = \frac{5}{x}$ 的解是．

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11. 写出一个比 $\sqrt{3}$ 大且比 $\sqrt{10}$ 小的整数是.

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12. 如果 $3 x^{2} - x - 1 = 0$ ，那么代数式 $(2 x + 3) (2 x - 3) - x (x + 1)$ 的值为．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $(1 ， y_{1})$ ， $(4 ， y_{2})$ 在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k＞0）的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”，“=”或“ $<$ ” $)$ ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，若 $M N = 5$ ，则 $A C$ 的长为．

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15. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B C$ 于点 $D .$ 若 $∠ B = 30 °$ ， $C D = 1$ ，则 $△ D A B$ 的面积为．

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16. 有黑、白各 $6$ 张卡片，分别写有数字 $1$ 至 $6 .$ 把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
$①$ 从左至右，按数字从小到大的顺序排列；
$②$ 黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字 $1$ 摆在了标注字母的位置，标注字母 $c$ 的卡片写有数字．

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三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $4 s i n 60 ° + \sqrt{27} - | - 2 | + (\frac{1}{2})^{- 1}$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 1 > 4 x + 7 \\ \frac{5 x - 4}{3} \leq x \end{array}$

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19. 已知：如图 $1$ ，直线 $A B$ 及 $A B$ 外一点 $P$ ．
求作：直线 $P Q$ ，使得 $P Q / / A B$ ．
作法：如图 $2$ ，
$①$ 在直线 $A B$ 上任取一点 $C$ ，连接 $P C$ ；
$② C$ 为圆心， $P C$ 长为半径作弧，交直线 $A B$ 于点 $D$ ；
$③$ 分别以点 $P$ ， $D$ 为圆心， $P C$ 长为半径作弧，两弧在直线 $A B$ 外交于一点 $Q$ ；
$④$ 作直线 $P Q$ ．
直线 $P Q$ 就是所求作的直线．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形 $($ 保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $D Q$ ．
$∵ C D = D Q = P Q =$ ▲ ，
$∴$ 四边形 $P C D Q$ 是 ▲ 形（）（填推理的依据）．
$∴ P Q / / A B$ ．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若 $m > 1$ ，且该方程的一个根是另一个根的 $2$ 倍，求 $m$ 的值．

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $B M / / A C$ ，过点 $C$ 作 $C N / / D B$ 交 $B M$ 于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $B E C O$ 是矩形；

(2)、连接 $D E$ ，若 $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象过点 $A (3 ， - 1)$ ， $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求该函数的解析式；

(2)、当 $x > - 3$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = 2 x + m$ 的值大于函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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23. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识

.

为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取

20

名居民的两次问卷成绩

(

百分制

)

，并对数据

(

成绩

)

进行整理、描述和分析

.

下面给出了部分信息．

a .

这

20

名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：

b .

这

20

名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：

	平均数	中位数	方差
讲座前	$72.0$	$71.5$	$99.7$
讲座后	$86.8$	$m$	$88.4$

$c .$ 结合讲座后成绩 $x$ ，被抽取的 $20$ 名居民中有 $5$ 人获得“参与奖” $(x < 80)$ ，有 $7$ 人获得“优秀奖” $(80 \leq x < 90)$ ，有 $8$ 人获得“环保达人奖” $(90 \leq x \leq 100)$ ，其中成绩在 $80 \leq x < 90$ 这一组的是：
$80 82 83 85 87 88 88$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、居民小张讲座前的成绩为

80

分，讲座后的成绩为

95

分，在图中用“

〇

”圈出代表居民小张的点；

(2)、写出表中

m

的值；

(3)、参加公益讲座的居民有

160

人，估计能获得“环保达人奖”的有人

.

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24.

2023

年

4

月

16

日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获

9

金

2

银，位列奖牌榜第一

.

赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已

.

在

10

米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分

.

建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度

y (

单位：

m)

与水平距离

x (

单位：

m)

近似满足函数关系

y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)

．
某跳水运动员进行了两次训练．

(1)、第一次训练时，该运动员的水平距离

x

与竖直高度

y

的几组数据如下：

水平距离 $x / m$	$0$	$0.2$	$0.4$	$0.6$	$0.8$	$1.6$	$2$
竖直高度 $y / m$	$10.00$	$10.45$	$10.60$	$10.45$	$10.00$	$5.20$	$1.00$

$①$ 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ ；
$②$ 运动员必须在距水面 $5 m$ 前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误 $.$ 在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为 $1.6 m$ ，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；

(2)、第二次训练时，该运动员的竖直高度

y

与水平距离

x

近似满足函数关系

y = - 4.16 (x - 0.38)^{2} + 10.60 .

如图，记该运动员第一次训练的入水点为

A

，若运动员在区域

A B

内

(

含

A

，

B)

入水能达到压水花的要求，则第二次训练达到要求

(

填“能”或“不能”

)

．

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25. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ C B$ 交 $C B$ 的延长线于点 $H$ ，点 $F$ 是 $D H$ 延长线上一点， $C F = C D$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $t a n ∠ D C B = \frac{1}{2} ， C F = 8$ ，求 $⊙ O$ 半径的长．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移 $4$ 个单位长度，得到点 $B$ ．

(1)、若 $c = 4$ ，点 $C (- 2 ， 4)$ 在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；

(2)、若抛物线与线段 $A B$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A C B = 2 α$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $E D$ 上一点且 $∠ E A F = α$ ，

(1)、求 $∠ A F B$ 的大小 $($ 用含 $α$ 的式子表示 $)$ ；

(2)、连接 $F C .$ 用等式表示线段 $F C$ 与 $F A$ 的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $M ($ 不与点 $O$ 重合 $)$ 和线段 $P Q$ ，给出如下定义：连接 $O M$ ，平移线段 $O M$ ，使点 $M$ 与线段 $P Q$ 的中点 $M'$ 重合，得到线段 $O' M$ ”，则称点 $O'$ 为线段 $P Q$ 的“中移点” $.$ 已知 $⊙ O$ 的半径为 $1$ ．

(1)、如图，点 $P (- 1 ， 0)$ ，点 $Q (m ， 4)$ ，
$①$ 点 $M$ 为 $⊙ O$ 与 $y$ 轴正半轴的交点， $O O' = \sqrt{5}$ ，求 $m$ 的值；
$②$ 点 $M$ 为 $⊙ O$ 上一点，若在直线 $y = x + 3$ 上存在线段 $P Q$ 的“中移点” $O'$ ，求 $m$ 的取值范围．

(2)、点 $Q$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $M$ 在线段 $O Q$ 上，且 $O M = t (0 < t < \frac{1}{2}) .$ 若 $P$ 是 $⊙ O$ 外一点，点 $O'$ 为线段 $P Q$ 的“中移点”，连接 $O O'$ ，当点 $Q$ 在 $⊙ O$ 上运动时，直接写出 $O O'$ 长的最大值与最小值的差 $($ 用含 $t$ 的式子表示 $)$ ．

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