江西省南昌市二十八中教育集团2023—2024学年九年级上学期数学开学考试试卷-在线组卷题库

1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（）

A、 $1.42 \times 1 0^{- 9}$ B、 $1.42 \times 1 0^{- 10}$ C、 $0.142 \times 1 0^{- 9}$ D、 $1.42 \times 1 0^{- 11}$

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3. 若一个三角形的三边长分别为2、6、a ，则a的值可以是（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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4. 下列二次根式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{9}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E ， F分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 分解因式： $3 x^{3} - 27 x =$ .

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8. 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为分.

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9. 在平面直角坐标系中，将 $y = - 2 x + 1$ 向下平移3个单位，所得函数图象过 $(a ， 3)$ ，则a的值为.

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10. 以正五边形 $A B C D E$ 的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形 $A^{'} B^{'} C D^{'} E^{'}$ 的顶点 $D^{'}$ 落在直线 $B C$ 上，则正五边形 $A B C D E$ 旋转的度数至少为°.

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 14$ ， D ， E分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，点F在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $E F$ 的长是.

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12. 已知函数 $y_{1} = x - 2$ 与 $y_{2} = {\begin{array}{l} (x - 1)^{2} - 1 (x ⩽ 3) \\ - x + 6 (x > 3) \end{array}$ ，若 $y_{1} = y_{2}$ ，则x的值是.

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13. 计算：

(1)、 $\sqrt{4} - (3 - π)^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

(2)、解方程： $3 x (x - 2) = 2 (x - 2)$

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14. 以下是某同学化简分式 $\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ 的部分运算过程：
解：原式 $= \frac{a - b}{a} \div a - \frac{a - b}{a} \div \frac{2 a b - b^{2}}{a}$ ……第一步
          $= \frac{a - b}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a - b}{a} \cdot \frac{a}{2 a b - b^{2}}$ ……第二步
          $= \frac{a - b}{a^{2}} - \frac{a - b}{2 a b - b^{2}}$ ……第三步

(1)、上面的运算过程中第步开始出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程.

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15. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长是4，D ， E分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点F ，使 $C F = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C D$ ， $D E$ ， $E F$ .

(1)、求证：四边形 $D C F E$ 是平行四边形；

(2)、求 $E F$ 的长.

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16. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B D$ 为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.

图① 图②

(1)、如图①，点P为 $A B$ 上任意一点，请仅用无刻度的直尺在 $C D$ 上找出另一点Q ，使 $A P = C Q$ ；

(2)、如图②，点P为 $B D$ 上任意一点，请仅用无刻度的直尺在 $B D$ 上找出一点Q ，使 $B P = D Q$ .

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17. 已知关于x的一元二次方程 $(a + b) x^{2} - 2 c x + (a - b) = 0$ ，其中a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 三边的长.

(1)、如果 $x = 1$ 是方程的一个根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ A B C$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

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18. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 $A$ 型和 $B$ 型两种玩具，已知用520元购进 $A$ 型玩具的数量比用175元购进 $B$ 型玩具的数量多30个，且 $A$ 型玩具单价是 $B$ 型玩具单价的 $1.6$ 倍．

(1)、求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲： $\frac{520}{1.6 x} = \frac{175}{x} + 30$ ，解得 $x = 5$ ，经检验 $x = 5$ 是原方程的解．

乙： $\frac{520}{x} = 1.6 \times \frac{175}{x - 30}$ ，解得 $x = 65$ ，经检验 $x = 65$ 是原方程的解．

则甲所列方程中的 $x$ 表示，乙所列方程中的 $x$ 表示；

(2)、该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 $A$ 型玩具多少个？

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19. 已知一次函数 $y = k x + b$ （k、b为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象（如图1）.
图1 图2

(1)、求k ， b的值；

(2)、正比例函数 $y = m x$ （m为常数， $m \neq 0$ ）与一次函数 $y = k x + b$ 相交于点P（如图2），则不等式 $m x > k x + b$ 的解集为；不等式组 ${\begin{array}{l} m x > 0 \\ k x + b > 0 \end{array}$ 的解集为.

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20. 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c ，设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c ，则三角形的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ .依据上述公式解决下列问题：

(1)、若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于；

(2)、若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5}$ ， 3， $2 \sqrt{5}$ ，求这个三角形的面积.

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21. 甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：

	平均成绩/环	中位数/环	众数/环	方差
甲	a	7	7	1.2
乙	7	b	8	c

(1)、

a =

，

b =

，

c =

.

(2)、填空：（填“甲”或“乙”）.

从中位数的角度来比较，成绩较好的是；从众数的角度来比较，成绩较好的是；成绩相对较稳定的是.

(3)、从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？

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22. 已知：直线 $y = \frac{3}{4} x + 12$ 与x轴、y轴分别相交于点A和点B ，点C在线段 $A O$ 上.将 $△ A B O$ 沿 $B C$ 折叠后，点O恰好落在 $A B$ 边上点D处.

(1)、直接写出点A ，点B的坐标；

(2)、求 $O C$ 的长度；

(3)、取 $A B$ 的中点M ，若点P在y轴上，点Q在直线 $A B$ 上，存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为.

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23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：

【提出问题】已知 $0 < x < 1$ ，求 $\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + (1 - x)^{2}}$ 的最小值

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 和 $\sqrt{1 + (1 - x)^{2}}$ 的线段，将代数求和转化为线段求和问题.

【解决问题】

(1)、如图，我们可以构造边长为1的正方形 $A B C D$ ， P为 $B C$ 边上的动点.设 $B P = x$ ，则 $P C = 1 - x$ .则 $\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + (1 - x)^{2}} =$ 线段 $+$ 线段；

(2)、在（1）的条件下，已知 $0 < x < 1$ ，求 $\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + (1 - x)^{2}}$ 的最小值；

(3)、【应用拓展】应用数形结合思想，求 $\sqrt{x^{2} + 9} - \sqrt{(x - 6)^{2} + 1}$ 的最大值.

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江西省南昌市二十八中教育集团2023—2024学年九年级上学期数学开学考试试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

六、（本大题共1题，共12分）