吉林省松原市前郭县城镇三校2023年中考数学四模考试试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在 $- 5$ ， $- 0.8$ ， $0$ ， $| - 6 |$ 四个数中，最小的数是（）

A、 $- 5$ B、 $- 0.8$ C、 $0$ D、 $| - 6 |$

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2. $2022$ 年 $3$ 月 $23$ 日下午，“天宫课堂“第二课在中国空间站开讲，由神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平，叶光富进行授课 $.$ 央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到 $2580000 .$ 数字 $2580000$ 用科学记数法可以表示为（）

A、 $258 \times 1 0^{4}$ B、 $25.8 \times 1 0^{4}$ C、 $2.58 \times 1 0^{6}$ D、 $0.258 \times 1 0^{7}$

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3. 不等式 $x + 3 \geq 4$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将一副三角板按如图所示放置，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $90 °$ D、 $110 °$

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5. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $A O$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $C$ ，若 $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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6. 我国古代著作 $《$ 四元玉鉴 $》$ 记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 $6210$ 文．如果每株椽的运费是 $3$ 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $6210$ 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ B、 $\frac{6210}{x - 1} = 3$ C、 $3 x - 1 = \frac{6210}{x}$ D、 $\frac{6210}{x} = 3$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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8. 已知 $a + b = 3$ ， $a - b = 4$ ，则 $a^{2} - b^{2}$ 值为．

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9. 标价为 $m$ 元的商品，若打 $8$ 折出售，则售价为元 $. ($ 用含有 $m$ 的代数式表示 $)$

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10. 若关于x的一元二次方程x²+x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．

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11. 如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是．

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12. 如图 $1$ ，将一张矩形纸片 $A B C D$ 对折，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，点 $D$ 与点 $C$ 重合，折痕为 $M N .$ 如图 $2$ ，把矩形纸片展平后，沿过点 $B$ 的直线 $B E$ 折叠，使点 $A$ 的对应点 $F$ 落在 $M N$ 上，折痕为 $B E$ ，则 $∠ A B F$ 的度数是 $° .$

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心 $.$ 大于 $\frac{1}{2} A B$ 长度为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $C P$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，再以点 $C$ 为圆心， $C D$ 长度为半径画弧，交 $B C$ 于点 $E$ ，则阴影部分的面积为．

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14. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形组成的 $3 \times 3$ 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 $.$ 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 均在格点上，在网格中将点 $B$ 按下列步骤移动：
第一步：点 $B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $270 °$ 得到点 $B_{1}$ ；
第一步：点 $B_{1}$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $B_{2}$ ；
第三步：点 $B_{2}$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 回到点 $B$ ．
则点 $B$ 经过的路径长为．

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) - (a - b)^{2}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = - 3$ ．

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16. 如图，点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在一条直线上， $A B / / D E$ ， $A C / / D F$ ， $B E = C F .$ 求证： $△ A B C$ ≌ $△ D E F$ ．

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17. 为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进 $3$ 根跳绳和 $2$ 个毽子共需 $63$ 元，购进 $2$ 根跳绳和 $5$ 个毽子共需 $75$ 元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元．

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18. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌而数字分别为 $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5 .$ 将这四张扑克牌背朝上，洗匀 $.$ 从中随机抽取一张不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张 $.$ 请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字和为奇数的概率．

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19. 如图，在 $4 \times 4$ 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 $1 .$ 点 $A$ 、 $B$ 都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图 $1$ 中以线段 $A B$ 为边画一个等腰三角形 $A B C$ ；

(2)、在图 $2$ 中以线段 $A B$ 为边画一个轴对称的四边形 $A B D E$ ；

(3)、在图 $3$ 中以线段 $A B$ 为边画一个中心对称的四边形 $A B F G$ ，使其面积为 $4$ ．

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20. 为提高学生识骗、防骗能力，谨防上当受骗，学校随机抽查了部分学生进行防诈骗安全知识测试

.

将测试结果分为优，良，及格，不及格四类，并绘制成如图不完整的统计图表．

等级	频数 $($ 人数 $)$	频率
优	$a$	$0.30$
良	$b$	$m$
及格	$15$	$0.25$
不及格	$3$	$0.05$

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)、上表中的

a =

，

b =

，

m =

；

(2)、本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图；

(3)、如果测试结果为不及格的同学应加强防诈骗安全学习，根据调查结果估计该校

2000

学生中应加强防诈骗安全学习的学生人数．

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21. 某人乘车从 $A$ 地去 $B$ 地 $.$ 如图所示， $B$ 地在 $A$ 地的正北方向，且距离 $A$ 地 $9 k m$ ，但 $A$ ， $B$ 两地之间道路维修无法通过 $.$ 按导航指示，车辆沿正西方向行驶至 $C$ 地，再沿北偏东 $26 °$ 方向行驶到达 $B$ 地，求车辆绕行之后比沿 $A B$ 段多行驶多少千米 $($ 结果精确到 $0.1 k m) . ($ 参考数据 $s i n 26 ° \approx 0.44$ ， $c o s 26 ° \approx 0.90$ ， $t a n 26 ° \approx 0.49)$

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22. 如图，一次函数 $y = a x + b (a \neq v)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第一象限交于 $A (2 ， 3)$ 和 $B (3 ， m)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、连接 $O A$ ， $O B$ ，求 $△ O A B$ 的面积．

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23. 为支援甲地抗击新冠疫情，乙地先后向甲地捐赠两批物资 $.$ 甲、乙两地之间有一条长为 $360 k m$ 的公路 $. A$ 从乙地匀速开往甲地， $A$ 车出发两小时后， $B$ 车从乙地匀速开往甲地 $.$ 两车同时到达甲地， $A$ 车行驶路程与 $B$ 车行驶路程的差 $y ($ 单位： $k m)$ 与 $A$ 车行驶时间 $y ($ 单位： $h)$ 之间的函数关系如图所示．

(1)、 $A$ 车的速度为 $k m / h$ ， $B$ 车的速度为 $k m / h$ ， $a =$ ；

(2)、求 $B$ 车行驶过程中 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $A$ 、 $B$ 两车之间的距离为 $60 k m$ 时，直接写出 $x$ 的值．

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24. 已知正方形 $A B C D$ 边长为 $1$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作射线 $O E$ ， $O F$ ，分别交 $A D$ ， $A B$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $O E ⊥ O F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $O E ⊥ A D$ 时，求证：四边形 $A E O F$ 是正方形；

(2)、如图 $2$ ，将射线 $O E$ ， $O F$ 绕着点 $O$ 进行旋转．
$①$ 在旋转过程中，判断线段 $O E$ 与 $O F$ 的数量关系，并给出证明；
$②$ 四边形 $O E A F$ 的面积为；

(3)、如图 $3$ ，在四边形 $P Q M N$ 中， $P Q = P N$ ， $∠ Q P N = ∠ Q M N = 90 °$ ，连接 $P M .$ 若 $P M = 9$ ，请直接写出四边形 $P Q M N$ 的面积．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，连接 $A C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度沿线段 $A D$ 向终点 $D$ 运动；同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $3$ 个单位长度的速度沿折线 $B \to A \to C$ 向终点 $C$ 运动，以 $A P$ ， $A Q$ 为邻边作平行四边形 $A P E Q .$ 设运动时间为 $x$ 秒，平行四边形 $A P E Q$ 和矩形 $A B C D$ 重叠部分的图形面积为 $y$ ．

(1)、当点 $E$ 在 $C D$ 上时， $x =$ ；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(3)、连接 $C E$ ，直接写出当 $∠ D C E = 30 °$ 时 $x$ 的值．

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26. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + m (x \geq 0)$ 的顶点为 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ ．

(1)、点 $A$ 的坐标为，点 $B$ 的坐标为 $($ 用含 $m$ 的式子表示 $)$ ；

(2)、设抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + m (x \geq 0)$ 的函数图象最高点的纵坐标为 $n$ ：
$①$ 当 $m = 1$ 时， $n =$ ；当 $m = - 1$ 时， $n =$ ；
$②$ 写出 $n$ 关于 $m$ 的函数解析式及自变量 $m$ 的取值范围；

(3)、将抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + m (x \geq 0)$ 的函数图象记为图象 $G$ ，将抛物线 $y = x^{2} - 2 m x - m^{2} + m (x < 0)$ 的函数图象记为图象 $H$ ，图象 $H$ 和图象 $G$ 组合成的图象记为图象 $K$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上且纵坐标为 $2 m - 2$ ，过点 $P$ 作直线 $l ⊥ y$ 轴于点 $P .$ 请直接写出直线 $l$ 与图象 $K$ 有三个交点时 $m$ 的取值范围．

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