云南省昆明市五华区2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， ∁_{R} B = {x ∣ x < 0$ 或 $x > 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 3 ， - 1 ， 0 ， 4}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 设 $m \in R$ ，命题“若 $m \leq 0$ ，则方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根”的逆否命题是（）

A、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m > 0$ B、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m > 0$ C、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根，则 $m \leq 0$ D、若方程 $x^{2} + x - m = 0$ 没有实根，则 $m \leq 0$

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3. 设 $a = l o g_{8} 27$ ， $b = l o g_{0.5} 0.2$ ， $c = l o g_{4} 24$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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4. $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $c o s 2 A < c o s 2 B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（）

A、圆台的母线长是20 B、圆台的表面积是 $1100 π$ C、圆台的高是 $10 \sqrt{2}$ D、圆台的体积是 $\frac{7000 \sqrt{3}}{3} π$

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6. 如图所示，为了测量湖中 $A ､ B$ 两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在 $D$ 处测量发现 $A$ 亭子位于北偏西 $1 5^{∘} ， B$ 亭子位于东北方向，乙测量员在 $C$ 处测量发现 $B$ 亭子位于正北方向， $A$ 亭子位于北偏西 $6 0^{∘}$ 方向，则 $A ， B$ 两亭子间的距离为（）

A、 $50 \sqrt{3}$ 米 B、 $50 \sqrt{6}$ 米 C、 $100 \sqrt{3}$ 米 D、 $100 \sqrt{6}$ 米

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7. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $P (3 ， - 4 ， 1)$ ，且平面 $O A B$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， - 2 ， 3)$ ，则 $P$ 到平面 $O A B$ 的距离等于（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 已知直线l过点 $P (1 ， 3 ， 1)$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，则点 $A (1 ， - 1 ， - 1)$ 到l的距离为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、3

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二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点， $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ ， PC与EH交于点G，则 $\vec{P G} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{P E} + \frac{3}{4} \vec{P H}$ B、 $\frac{3}{5} \vec{P F} + \frac{2}{5} \vec{P H}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{P E} + \frac{2}{3} \vec{P H}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{P F} + \frac{1}{3} \vec{P H}$

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} ， A A_{1} ， C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{B E} \cdot \vec{B F} = 6$ B、 $B_{1} G ⊥$ 平面 $B E F$ C、 $E F ⊥ B F$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $B E F$ 的距离为 $\frac{4}{3}$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点（）

A、 $B D_{1}$ $∥$ 平面 $A C E$ B、 $B D_{1} ⊥ A B_{1}$ C、若正方体的棱长为1，则点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $a = 2$ ， $s i n B = 2 s i n C$ ，有以下四个命题中正确的是（）

A、满足条件的 $△ A B C$ 不可能是直角三角形 B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3}$ C、当A=2C时， $△ A B C$ 的周长为 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、当A=2C时，若O为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$

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三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知 $z_{1}$ 为复数，且 $| z_{1} | = 2$ ，则 $| z_{1} + 2 i |$ 的最大值为.

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14. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) - 2 s i n (π - α) c o s (π + α) =$ ．

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15. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{D C} = (1 ， 1) ， \frac{1}{| \vec{B A} |} \cdot \vec{B A} + \frac{1}{| \vec{B C} |} \cdot \vec{B C} = \frac{\sqrt{3}}{| \vec{B D} |} \cdot \vec{B D}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，P是底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 上一点．若 $A P / /$ 平面BEF，则AP与平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 成角的正弦值的取值范围是．

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四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知函数

f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})

．

(1)、请用“五点法”画出函数

f (x)

在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；

$x$
$2 x - \frac{π}{6}$
$f (x)$

(2)、求

f (- x + \frac{π}{6})

的单调递增区间．

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18. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (c)$ ．假设数据在组内均匀分布．

(1)、当漏诊率 $p (c) = 0.5 %$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q (c)$ ；

(2)、已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值 $c = 99$ ，从样本中该医学指标在 $[95 ， 105]$ 上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $P A$ 的中点．

(1)、求证： $B F / /$ 面 $P D E$ ；

(2)、求二面角 $D - P E - A$ 的大小的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到面 $P D E$ 的距离．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a c o s \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 2 ， 2 A D = 3 C D$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC边上的一点， $B D = 1$ ，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

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22. 如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ . $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $A B / / E F$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $M F D$ ；

(2)、若 $E C = 3$ ，求证： $N D ⊥ F C$ ；

(3)、求四面体 $N F E C$ 体积的最大值

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