广西柳州市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数z＝ $\frac{1}{1 + i}$ （i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在平行四边形ABCD中， $\frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{A B}$ ＝（）

A、 $\vec{B D}$ B、 $\vec{D B}$ C、 $\frac{1}{2} B D$ D、 $\frac{1}{2} M N$

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3. 下列说法中正确的是（）

A、空间三点可以确定一个平面 B、若A ， B ， C ， D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 C、两组对边都相等的四边形是平面图形 D、梯形一定是平面图形

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4. 某新闻机构想了解全国人民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为（）

A、550 B、500 C、450 D、400

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5. 将函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后，得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（）

A、﹣sin2x B、﹣cos2x C、sin2x D、cos2x

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6. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（）

A、平面PAB⊥平面PAD B、平面PAB⊥平面PBC C、平面PBC⊥平面PCD D、平面PCD⊥平面PAD

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7. 蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A ， B两点，测得AB＝30 $\sqrt{7}$ 米，在A ， B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是（）

A、25米 B、25 $\sqrt{7}$ 米 C、30米 D、 $30 \sqrt{7}$ 米

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8. 已知圆锥的一条母线的中点与圆锥底面圆的圆心间的距离为2，母线与底面所成的角为60°，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $16 \sqrt{3} π$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4.5

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10. 下列表达式中，正确的是（）

A、cos $\frac{π}{12}$ cos $\frac{π}{6}$ ﹣sin $\frac{π}{12}$ sin $\frac{π}{6}$ ＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ sinx+cosx＝2sin（x+ $\frac{π}{6}$ ） C、 $\frac{1 - t a n 15 °}{1 + t a n 15 °}$ ＝ $\sqrt{3}$ D、cos⁴ $\frac{π}{8}$ ﹣sin⁴ $\frac{π}{8}$ ＝ $\frac{1}{2}$

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11. 已知事件A ， B ，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）

A、如果B⊆A ，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5 B、如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0 C、如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0 D、如果A与B相互独立，那么P（ $\bar{A B}$ ）＝0.4，P（ $\bar{A B}$ ）＝0.4

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12. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E ， F ， G分别为BC ， CC₁ ， BB₁的中点，则（）

A、直线A₁G与直线DC所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、直线A₁G与平面AEF不平行 C、点C与点G到平面AEF的距离相等 D、平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 写出一个模为 $\sqrt{5}$ 的非纯虚数．

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14. 已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m ， n不重合，由下列条件：
①m⊥n ， m⊥β；②n⊂α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n⊂α；

能推得n∥β的条件是．

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，若向量 $\vec{p} = \vec{a} + \frac{4}{3} m \vec{b}$ 与向量 $\vec{q} = \vec{b} + 3 m \vec{a}$ 共线，则m的值为．

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16. 已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为6，侧棱长为 $6 \sqrt{2}$ ，则该四棱锥外接球的表面积为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17. 已知 $\vec{a}$ ＝（2，1），| $\vec{b}$ |＝2 $\sqrt{5}$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若（5 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ），求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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18. 某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如图所示．

(1)、求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80，90）上的人数；

(2)、若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．

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19. 已知函数f（x）＝cos²x+sinxcosx﹣ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调增区间；

(2)、求f（x）在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值．

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20. 某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：

等级

1

2

3

4

5

频率

0.05

m

0.15

0.35

n

(1)、若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m ， n；

(2)、在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．

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21. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知 $\frac{\sin A - \sin B}{\sin C} = \frac{a - c}{a + b}$ .

(1)、求角B的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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22. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AA₁⊥平面ABCD ， E为AA₁中点，AA₁＝AB＝2．

(1)、求证：AC₁∥平面B₁D₁E；

(2)、求三棱锥A﹣B₁D₁E的体积；

(3)、在AC₁上是否存在点M ，满足AC₁⊥平面MB₁D₁？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由．

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等级	1	2	3	4	5
频率	0.05	m	0.15	0.35	n