广东省江门市台山市名校2023-2024学年高三上册数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合 $A = {x \in N | - 2 < x ⩽ 1}$ ， $B = {x | l g (x + 2) < 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{4 - i^{2}}{2 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $\frac{6}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{6}{5} - \frac{3}{5} i$

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3. “ $a \leq \frac{9}{4}$ ”是“方程 $x^{2} + 3 x + a = 0 (x \in R)$ 有正实数根”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $t > 0$ ，则 $y = \frac{t^{2} - 4 t + 1}{t}$ 的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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5. $(x^{2} - x + 1) (1 + x)^{9}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 的系数是（）

A、 $28$ B、 $- 28$ C、 $84$ D、 $- 84$

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6. 2023年某地马拉松于 $4$ 月 $16$ 日举行，组委会决定派小王、小李等 $6$ 名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）

A、 $40$ B、 $28$ C、 $20$ D、 $14$

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7. 设 $a = \frac{5}{11} ， b = l n \frac{21}{11} ， c = s i n \frac{5}{11}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (1 - x) ， - 1 \leq x < k ， \\ x^{3} - 3 x + 1 ， k \leq x \leq \sqrt{3} \end{array}$ 的值域为A，若 $A \subseteq [- 1 ， 1]$ ，则 $f (x)$ 的零点个数最多是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生，某高校组织 $4000$ 名大一新生进行体质健康测试，现抽查 $200$ 大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为 $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100) .$ 则下列说法正确的是（）

A、估计该样本的众数是 $87.5$ B、估计该样本的均值是 $80$ C、估计该样本的中位数是 $86$ D、若测试成绩达到 $85$ 分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为 $2200$ 人

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10. 已知非零实数a，b满足 $a > | b | + 1$ ，则下列不等关系一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2} + 1$ B、 $2^{a} > 2^{b + 1}$ C、 $a^{2} > 4 b$ D、 $| \frac{a}{b} | > b + 1$

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11. 下列关于概率统计说法中正确的是．（）

A、两个变量 $x ， y$ 的相关系数为 $r$ ，则 $r$ 越小， $x$ 与 $y$ 之间的相关性越弱 B、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ < 0) = \frac{1}{2} - p$ C、在回归分析中， $R^{2}$ 为 $0.98$ 的模型比 $R^{2}$ 为 $0.89$ 的模型拟合的更好 D、某人在 $10$ 次答题中，答对题数为 $X$ ， $X ~ B (10 ， 0.8)$ ，则答对 $8$ 题的概率最大

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{1 - x} + x^{2} - 2 x$ ，若不等式 $f (2 - a x) < f (x^{2} + 3)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值可能是（）

A、 $- 4$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若命题“ $\exists x \in [1 ， 3] ， x^{2} + a x + 1 > 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的最大值为．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4 ， (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 已知F₁ ， F₂为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，则C的离心率为．

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16. 某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取 $100$ 人、 $60$ 人参加演出活动，其中甲学院中女生占 $\frac{3}{5}$ ，乙学院中女生占 $\frac{3}{4} .$ 从中抽取一人恰好是女生的概率为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中， $A = 6 0^{∘}$ ， $c = \frac{3}{7} a$ ．

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、若 $a = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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18. 设 $f' (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，已知 $f (x) = x + f' (0) c o s 2 x + a (a \in R)$ ，且 $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， 2)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调区间．

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19. 已知图 $1$ 是由等腰直角三角形 $A B E$ 和菱形 $B C D E$ 组成的一个平面图形，其中菱形边长为 $4$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ D = 60 ° .$ 将三角形 $A B E$ 沿 $B E$ 折起，使得平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E ($ 如图 $2)$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} C - D$ 的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{4}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{a_{n} + 3}$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列 $；$

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} > 140$ ，求满足条件的最小正整数 $n$ ．

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与 $y$ 轴的正半轴相交于点 $M$ ，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的焦点，且 $△ M F_{1} F_{2}$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，若直线 $l$ ： $y = k x + 2 \sqrt{3}$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ．

(1)、直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．

(2)、求 $△ A B M$ 的面积的最大值．

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22. “英才计划”最早开始于 $2013$ 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 $2022$ 年已经培养了 $6000$ 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．

(1)、若化学组的 $12$ 名学员中恰有 $5$ 人来自同一中学，从这 $12$ 名学员中选取 $3$ 人， $ξ$ 表示选取的人中来自该中学的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动 $.$ 规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于 $3$ ，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响 $.$ 已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ，且 $p_{1} + p_{2} = \frac{4}{3}$ ，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得 $6$ 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？

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