广东省梅州市梅江区2023-2024学年高三上册数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：月考试卷

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一、选择题（8小题共40分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 > 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 6}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap_{}^{} B =$ （）

A、 $[- 3$ ， $2]$ B、 $(0$ ， $2]$ C、 $[0$ ， $2)$ D、 $(- 2 ， 6)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 3 i) = 5 - 5 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知以原点为顶点， $x$ 轴的非负半轴为始边的角 $α$ 的终边经过点 $P (1 ， - 2)$ ，则 $c o s (π + α) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 为递减等比数列， $a_{1} > 0$ ， $a_{1} a_{3} = 1$ ， $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{4}$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、 $\frac{63}{16}$ B、 $\frac{31}{16}$ C、 $\frac{21}{16}$ D、 $- \frac{21}{16}$

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5. 某单位安排甲、乙、丙、丁四人去 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到 $A$ 基地的排法总数为（）

A、6 B、12 C、18 D、36

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $C = 60 °$ ， $a^{2} + b^{2} = 5 a b$ ，则 $c =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 4$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n + 2 (n \in N^{*})$ ，则使得 $S_{n} > 2023$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、32 B、33 C、44 D、45

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二、多选题（4小题共20分）

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}$ C、向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{10} \vec{a}$

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10. 已知函数 $f (x) = - 2 s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x + 1$ ，则（）

A、f（x）在[0，π]内有2个零点 B、f（x）在 $（ 0 ， \frac{π}{8} ）$ 上单调递增 C、f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 D、f（x）在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为1

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点（）

A、 $B D_{1}$ $∥$ 平面 $A C E$ B、 $B D_{1} ⊥ A B_{1}$ C、若正方体的棱长为1，则点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、直线 $A D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2， $\dots$ ；第 $n (n \in N *)$ 次得到数列1， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{k}$ ， 2； $\dots$ ．记 $a_{n} = 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $k + 1 = 2^{n}$ B、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 3$ C、 $a_{n} = \frac{3}{2} (n^{2} + 3 n)$ D、 $S_{n} = \frac{3}{4} (3^{n + 1} + 2 n - 3)$

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三、填空题（4小题，共20分）

13. 在 $(2 x^{2} - \frac{1}{x})^{5}$ 的二项展开式中，第4项的系数为．

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14. 已知{a_n}是等差数列，公差d不为零．若a₂ ， a₃ ， a₅成等比数列，且a₂＝﹣1，则数列{a_n}的通项公式是．

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15. 设三角形 $A B C$ 是等边三角形，它所在平面内一点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，则向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{p + q} = a_{p} a_{q} (p ， q \in N *)$ ，记 $b_{m}$ 为 ${a_{n}}$ 中在区间 $(0$ ， $m] (m \in N *)$ 中的项的个数，则数列 ${b_{m}}$ 的前150项和 $S_{150} =$

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四、解答题（6小题共70分）

17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的周期为π，且△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，C，满足 $f (\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $α = 3 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求b

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上恰有两个零点，求 $ω$ 的取值范围。

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18. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 、 $F$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为 $B_{1} B$ ， $C_{1} D$ ， $A B$ ， $A_{1} A$ 中点， $A C = A B = B C = \frac{1}{2} C_{1} C = 2$ ．

(1)、求证： $M F / /$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ．

(2)、求二面角 $F - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n} - n$ ．

(1)、证明数列 ${a_{n} - n}$ 为等比数列并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n} - n}{(b_{n} + 1) (b_{n + 1} + 1)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{b + c}{a} = 2 s i n (C + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围．

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21. 梅州是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？

满意
不满意
合计
工薪族

非工薪族

合计

(2)、用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过 $n (n \in N^{*})$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $n$ 时，抽样结束．记此时抽样次数为 $X_{n}$ ．
①若 $n = 5$ ，求 $X_{5}$ 的分布列和数学期望；
②请写出 $X_{n}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $X_{n}$ 的数学期望的实际意义．
          $a$
0.050
0.010
0.005
          $x_{0}$
3.841
6.635
7.879
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4$ ， $S_{n}$ 是 $a_{n + 1}$ 与 $2 n - 4$ 的等差中项．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 4^{n} + (- 1)^{n + 1} t a_{n}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是递增数列，求 $t$ 的取值范围．

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} - \frac{4}{3}}$ ，且数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{9}{16}$ ．

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	满意	不满意	合计
工薪族
非工薪族
合计

$a$	0.050	0.010	0.005
$x_{0}$	3.841	6.635	7.879