浙江省杭州市临安名校2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} + \vec{A B} + \vec{B C}$ 等于（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{A C}$

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2. 直线 $3 x + 2 y - 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(3 ， 2)$

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3. 已知命题 $p$ ：直线 $a x + 3 y - 4 = 0$ 与 $x + (a + 2) y + 2 = 0$ 平行，命题 $q ： a = - 3$ ，则 $q$ 是 $p$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (1 ， - 3 ， 5)$ ， $\vec{n_{2}} = (- 1 ， 1 ， - 4)$ ，则（）

A、 $α / / β$ B、 $α ⊥ β$ C、 $α$ ， $β$ 相交但不垂直 D、以上均不正确

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5. 已知向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 下的坐标为（）

A、 $(0 ， 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2 ， 1)$ C、 $(2 ， 1 ， 0)$ D、 $(1 ， 2 ， - 1)$

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6. 与直线 $2 x + 3 y - 6 = 0$ 关于点 $(1 ， - 1)$ 对称的直线方程是（）

A、 $3 x - 2 y + 2 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 7 = 0$ C、 $3 x - 2 y - 12 = 0$ D、 $2 x + 3 y + 8 = 0$

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7. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 1$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，则点 $E$ 到直线 $P D$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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8. 已知 $x ， y \in R^{+}$ ，满足 $2 x + y = 2$ ，则 $x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、1 D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，与 $\vec{a} + \vec{b}$ ､ $\vec{a} + \vec{c}$ 构成基底的一个向量可以是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{b}$ D、 $3 \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$

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10. 已知直线 $l ： k x - 2 y - 4 k + 1 = 0$ ，则下列表述正确的是（）

A、当 $k = 2$ 时，直线的倾斜角为 $4 5^{∘}$ B、当实数 $k$ 变化时，直线 $l$ 恒过点 $(4 ， \frac{1}{2})$ C、当直线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 平行时，则两条直线的距离为1 D、直线 $l$ 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

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11. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $A (- 1 ， 0 ， 0)$ ， $B (1 ， 2 ， - 2)$ ， $C (2 ， 3 ， - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 12$ B、 $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{3}$ C、异面直线 $O C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 对于两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，定义一种“距离”： $| | A B | | = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，则（）

A、若点C是线段AB的中点，则 $| | A B | | = 2 | | A C | |$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ C = 90 °$ ，则 ${| | A C | |}^{2} + {| | C B | |}^{2} = {| | A B | |}^{2}$ C、在 $△ A B C$ 中， $| | A C | | + | | C B | | \geq | | A B | |$ D、在正方形ABCD中，有 $| | A B | | = | | B C | |$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， x ， 0)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 已知空间向量 $\vec{a}$ $= (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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15. 点 $(0 ， - 1)$ 到直线 $y = k (x + 2)$ 的距离的最大值是．

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16. $A$ 是直线 $l ： y = 3 x$ 上的第一象限内的一点， $B (3 ， 2)$ 为定点，直线AB交x轴正半轴于点C ，当 $△ A O C$ 面积最小时，点 $A$ 的坐标是

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四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $M$ 为 $B D$ 中点， $P$ 为 $B B_{1}$ 中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ；

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{P M}$ ；

(2)、求线段 $P M$ 的长度．

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18. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ， i为虚数单位，且满足 $| z | + z = \frac{- 4 + 8 i}{i}$ ．

(1)、求复数z；

(2)、复数z是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数p，q的值．

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19. 如图，面积为8的平行四边形ABCD ， A为原点，点B的坐标为 $(2 ， - 1)$ ，点C ， D在第一象限．

(1)、求直线CD的方程；

(2)、若 $| B C | = \sqrt{13}$ ，求点D的横坐标．

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20. 在 $△$ ABC中．a ， b ， c分别是内角A ， B ， C所对的边， $\frac{c}{2 b - a} = \frac{c o s C}{c o s A}$

(1)、求角C：

(2)、若 $a c o s B + b c o s A = 2$ ，求锐角 $△$ ABC面积的取值范围．

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D = 2 B C$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 9 0^{∘}$ .

(1)、若 $M$ 为 $P A$ 的中点，求证： $B M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = a (2 x - 1) | x + 1 | - 2 x - 1$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 求证：
① $\frac{1}{a} < x_{3} < \frac{1}{a} + \frac{1}{x_{3}}$

② $a (x_{2} - x_{1}) < 1$ .

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