陕西省汉中市西乡县2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 下列与 $120 °$ 角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

A、 $2 k π + \frac{2 π}{3} (k \in Z)$ B、 $k π + \frac{π}{3} (k \in Z)$ C、 $k π + \frac{2 π}{3} (k \in Z)$ D、 $2 k π + \frac{π}{3} (k \in Z)$

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2. $c o s \frac{7 π}{6}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 函数 $y = t a n (2 x - \frac{π}{3})$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ B、 ${x | x \neq \frac{5 π}{12} + k π ， k \in Z}$ C、 ${x | x \neq \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ D、 ${x | x \neq \frac{π}{3} + k π ， k \in Z}$

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4. 若 $t a n α = - \frac{5}{12} ， c o s α > 0$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $- \frac{12}{13}$ D、 $- \frac{5}{13}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} D$ 与 $D_{1} C$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6. 已知角 $α$ 是第一象限角， $c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ D、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A ， B ， D B、A ， B ， C C、B ， C ， D D、A ， C ， D

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8. 六氟化硫，化学式为 $S F_{6}$ ，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 $12 \sqrt{3}$ ，则正八面体外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $12 π$ D、 $36 π$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得得0分.

9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} \cdot \vec{b} |$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边为a ， b ， c ，则下列说法正确的有（）

A、A：B：C=a：b：c B、 $\frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C} = \frac{a}{s i n A}$ C、若A>B ，则a>b D、 $A + B + C = π$

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11. 设函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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12. 如图，以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，把 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（）

A、 $B D ⊥ A C$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ D、二面角 $A - B C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13. 已知平面向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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14. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ ．

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15. 如图，四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是梯形 $O A B C$ 的直观图，四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是等腰梯形，且 $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4 ， ∠ C^{'} O^{'} A^{'} = 4 5^{∘}$ ，则梯形 $O A B C$ 的周长为.

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16. 已知一个球与一个正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，那么这个三棱柱的侧面积为，二面角 $A - B_{1} C_{1} - A_{1}$ 的正弦值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知i是虚数单位， $z_{1} = \frac{3 + i}{1 - i}$ .

(1)、求 $| z_{1} |$ ；

(2)、若复数 $z_{2}$ 的虚部为-1，且 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，求 $z_{2}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )的图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $y = f (x)$ 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求当 $x \in [0 ， π]$ 时，函数 $y = g (x)$ 的单调递增区间.

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19. 已知平面向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n x ， c o s x)$ ， $\vec{n} = (c o s x ， c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 相邻两对称轴的距离；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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20. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ （侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中， $B C = C C_{1}$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是 $C C_{1}$ ， $A B$ ， $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $N P C / /$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} M B$

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21. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$

(1)、确定角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ，且 $a b = 6$ ，求边 $a ， b$ .

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $△ A B C$ 为等边三角形， $A A_{1} = A B = 6$ ，D为 $A C$ 的中点．

(1)、求证：直线 $A B_{1} //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求证：平面 $B C_{1} D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $C - B C_{1} D$ 的体积．

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