上海市闵行区名校2024届高三上学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 复数 $(a - 1) + (2 a - 1) i (a \in R)$ 在复平面的第二象限内，则实数 $a$ 的取值范围是．

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3. 函数 $y = \sqrt{3 - \frac{1}{x}}$ 的定义域为．

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4. 已知 $sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos (α + \frac{π}{2}) =$ .

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5. ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)

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6. 点 $P (2 ， 16) 、 Q (l o g_{2} 3 ， t)$ 都在同一个指数函数的图象上，则 $t =$ ．

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7. 一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积 $V_{1}$ 和球的体积 $V_{2}$ 的比值 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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8. $P (x_{0} ， y_{0})$ 为抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点，其中 $y_{0} < 4 ， F$ 为抛物线焦点，直线 $l$ 方程为 $y = 4 ， P H ⊥ l ， H$ 为垂足，则 $| P F | + | P H | =$ ．

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} = 1 + (n - 1) d$ ， $5 a_{2} = a_{8}$ ，则 $S_{n} =$ .

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10. 已知定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 的导函数是 $f^{^{'}} (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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11. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为．

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12. 设 $y = g (x) ， x \in R$ 是以1为周期的函数， $f (x) = 2^{x} \cdot g (x)$ ，若函数 $y = f (x) ， x \in [2 ， 3]$ 的值域为 $[1 ， 4]$ ，则函数 $y = f (x) ， x \in [0 ， 5]$ 的值域为．

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二、单选题

13. “ $x > 1$ ”是“ $x \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 已知双曲线 $Γ_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > 0 ， b_{1} > 0)$ 与 $Γ_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有共同渐近线，则它们一定有相等的（）

A、实轴长 B、虚轴长 C、焦距 D、离心率

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15. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若存在两个不等实数 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，使得 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，那么下列函数：① $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x \neq 0 \\ 0 ， x = 0 \end{array}$ ；② $f (x) = x^{2}$ ；③ $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ；具有性质 $P$ 的函数的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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16. 已知 $ω \in R ， φ \in [0 ， 2 π)$ ，若对任意实数 $x$ 均有 $s i n x \geq c o s (ω x + φ)$ ，则满足条件的有序实数对 $(ω ， φ)$ 的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{3} + a_{4} = - 2 ， S_{8} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{k} + 5 a_{k} = 0$ ，求 $k$ 的值．

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18. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1 ， B B_{1} = 2$ ，求：

(1)、异面直线 $B_{1} C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的大小；

(2)、四棱锥 $A_{1} - B_{1} B C C_{1}$ 的体积．

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19. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $x$ 名 $(x \in N^{*})$ ，调整后研发人员的年人均投入增加 $4 x %$ ，技术人员的年人均投入调整为 $60 (m - \frac{2 x}{25})$ 万元．

(1)、要使这 $100 - x$ 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数 $x$ 最多为多少人？

(2)、若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数 $m$ 的最大值．

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20. 已知 $P (0 ， 1)$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 内一定点， $Q$ 为直线 $l ： y = 3$ 上一动点，直线 $P Q$ 与椭圆 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点（点 $B$ 位于 $P 、 Q$ 两点之间）， $O$ 为坐标原点．

(1)、当直线 $P Q$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求直线 $O Q$ 的斜率；

(2)、当 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ 时，求点 $Q$ 的横坐标；

(3)、设 $\vec{A P} = λ \vec{P B} ， \vec{A B} = μ \vec{B Q}$ ，试问 $λ - μ$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + x + 4$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处切线方程；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) + f (- x) \geq 4 l n x + 8$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 3$ 时，设函数 $g (x) = f (x) - k x$ ，对于任意的 $k < 1$ ，试确定函数的零点个数，并说明理由．

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