四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

试卷更新日期：2023-09-22 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (x^{2} - 4) + (x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、4

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、4

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 5 \sqrt{2} ， c = 10 ， A = 30 °$ ，则C等于（）

A、45° B、60°或120° C、135° D、45°或135°

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4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该次课外知识测试及格率为90% B、该次课外知识测试得满分的同学有30名 C、该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D、若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名

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5. 已知平面 $α 、 β$ ，直线 $l \subset α$ ，直线 $m$ 不在平面 $α$ 内，下列说法正确的是（）

A、若 $α ∥ β ， m ∥ β$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $α ∥ β ， m ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l ∥ m ， α ∥ β$ ，则 $m ∥ β$ D、若 $l ⊥ m ， m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $A_{1} D_{1} ， A_{1} B_{1}$ 的中点，过直线 $B D$ 的平面 $α ∥$ 平面 $A M N$ ，则平面 $α$ 截该正方体所得截面为（）

A、三角形 B、五边形 C、平行四边形 D、等腰梯形

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8. $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $2 \vec{B M} \cdot \vec{C A} = {\vec{B A}}^{2} - {\vec{B C}}^{2}$ ，则动点 $M$ 的轨迹必通过 $△ A B C$ 的（）

A、垂心 B、内心 C、外心 D、重心

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆锥顶点为S，底面圆心为 $O ， A C$ 为底面的直径， $A C = 6 ， S A$ 与底面所成的角为 $60 °$ ，则（）

A、 $S O = 3 \sqrt{3}$ B、该圆锥的母线长为6 C、该圆锥的体积为 $27 \sqrt{3} π$ D、该圆锥的侧面积为 $36 π$

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10. 已知 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， b^{2} = c a$ 且 $\frac{\sqrt{3} a}{s i n A} = \frac{b}{c o s B}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B = 30 °$ B、 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}) \cdot \vec{A C} = 0$ C、 $△ A B C$ 为等腰非等边三角形 D、 $△ A B C$ 为等边三角形

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} ， | \vec{A D} | = 2 | \vec{A B} | = 2 ， \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ， E为 $C D$ 的中点， $A E$ 与 $D B$ 相交于 $F$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{B F}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{0}$ C、 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} = 1$ D、若 $α = \frac{1}{2} ∠ D E F$ ，则 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上一动点，下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - B C E$ 的体积为定值 B、若 $A_{1} E ∥ B_{1} C$ ，则 $A_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、若 $A D_{1} ⊥ B_{1} E$ ，则 $A_{1} B$ 与平面 $B_{1} C E$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ D、若 $B_{1} E ∥$ 平面 $B D C_{1}$ ，则 $B_{1} E$ 与 $A B$ 所成角的正弦最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人．则该校高中学生总数是人．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $N$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ， P是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为．

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15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D ， C D ⊥ A D ， A B = B D = \sqrt{2}$ ，已知动点 $E$ 从 $C$ 点出发，沿外表面经过棱 $A D$ 上一点到点 $B$ 的最短距离为 $\sqrt{10}$ ，则该棱锥的外接球的体积为．

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $9 c - a = 9 b c o s A$ ，角 $B$ 的平分线与 $A C$ 交于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、证明： $S B ∥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $S C ⊥ B D$ ．

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18. 设 $A ， B ， C ， D$ 为平面内的四点，且 $A (1 ， 3) ， B (2 ， - 2) ， C (4 ， 1)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，求 $D$ 点的坐标；

(2)、设向量 $\vec{a} = \vec{A B} ， \vec{b} = \vec{B C}$ ，若向量 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．

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19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $k W \cdot h$ ），将全部数据按区间 $[0 ， 50) ， [50 ， 100) ， \cdot \cdot \cdot ， [350 ， 400]$ 分成8组，得到如下的频率分布直方图：

(1)、求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = 3 f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ ，满足 $| g (x) - t | \leq 1$ 对任意的 $x \in [- \frac{5 π}{12} ， 0]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{a + c}{b} ， c = 2$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积的取值范围．

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22. 如图， $A B D C$ 是平面四边形， $△ A B C$ 为正三角形， $B C = C D = 4 ， B C ⊥ C D$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折，过点 $A$ 作平面 $B C D$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $H$ 在线段 $B D$ 上，求 $A D$ 的长；

(2)、若点 $H$ 在 $B C D$ 内部，且直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ，求二面角 $A - B C - D$ 的余弦值．

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