四川省成都市郫都区2023-2024学年高三上学期入学考试数学（理科）试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {1 ， 3 ， 5}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${3 ， 5}$ B、 ${2 ， 6}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6}$

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2. 底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知 $(1 - 2 i) z = 2 i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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4. 已知 $A$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $F$ 为抛物线焦点， $| A F | = 10$ ，点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为6，则 $p =$ （）

A、2 B、8 C、6 D、10

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5. 水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国 $60 %$ 以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稳，观测它们连续6年的产量（単位： $k g$ ）如表所示：甲、乙两种水稻连续6年产量
年
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
2890
2960
2950
2850
2860
2890
乙
2900
2920
2900
2850
2910
2920
根据以上数据，下列说法正确的是（）

A、甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小 B、甲种水稻产量的中位数比乙种水稳产量的中位数小 C、甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D、甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

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6. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 0 \\ 2 x + y + 4 \geq 0 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、8 B、6 C、 $\frac{32}{5}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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7. 在 $[- 2 ， 3]$ 上随机取一个数 $k$ ，则事件“直线 $y = k x + 3$ 与圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 有公共点”发生的概率为（）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（）

A、72 B、12 C、36 D、24

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9. 我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”科学地求出了圆周率 $π \approx 3.1416$ 的结果．他的方法是从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正十二边形、正二十四边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他通过计算正3072边形的面积估算出了 $π$ 的值．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了如图所示的程序框图，则输出 $k$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作一条直线与双曲线右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，坐标原点为 $O$ ，若 $| O A | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $| B F_{1} | = 5 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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11. 设 $a = \sqrt[6]{e} - 1$ ， $b = l n \frac{7}{6}$ ， $c = \frac{1}{6}$ 则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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12. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M ， N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（）个
① $M N$ 的最小值为1②四面体 $N M B C$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ ③存在无数条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直④点 $M ， N$ 为所在边中点时，四面体 $N M B C$ 的外接球半径为 $\frac{3}{4}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 在2023年8月15日，成都市物价部门对金牛区5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 $x$ 元和销售量 $y$ 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量 $y$ 与价格 $x$ 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是： $y = - 3.2 x + a$ ，则 $a =$ ．

价格 $x$
9
9.5
10
10.5
11
销售量 $y$
11
10
8
6
5

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14. 若 ${(x - \frac{a}{x})}^{8}$ 的二项展开式中 $x^{6}$ 的系数是－16，则实数 $a$ 的值是．

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15. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - a l n x + 1$ 在 $(a - \frac{1}{10} ， a)$ 上单减，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{a x} - 1$ 与 $x$ 轴有两个交点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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	价格 $x$	9	9.5	10	10.5	11
销售量 $y$	11	10	8	6	5

三、解答题（共70分）

17. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ ， $(a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40 ， 50)$ 、 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、…、 $[90 ， 100)$ ，统计结果如图所示：

(1)、试估计这100名学生得分的平均数；

(2)、从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在 $[90 ， 100]$ 的人数为 $ξ$ ，试求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $N$ 为 $A B$ 中点， $M$ 为棱 $B C$ 上一动点（不包含端点）．

(1)、若 $M$ 为 $B C$ 的中点，求证： $A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ？若存在，求出 $B M$ 长度；若不存在，请说明理由．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是 $C$ 的左、右焦点， $B$ 是 $C$ 的上顶点，且 $\vec{B F_{1}} \cdot \vec{B F_{2}} = 2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、A是椭圆 $C$ 的右顶点，斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点（ $M ， N$ 与 $A$ 不重合）．设直线 $M A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $N A$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{4}{k}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、若经过点 $(0 ， 0)$ 的直线与函数 $f (x)$ 的图像相切于点 $(2 ， f (2))$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - 1$ ，若 $g (x)$ 有两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $g (x_{1}) + g (x_{2}) < λ (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C ： ρ = 4 \cos θ$ ，直线l的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \end{array}$ （t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.

(1)、写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)、若点 $P (3 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |}$ 的值.

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