广西贵港市名校2023-2024学年高二上册数学入学联考试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数 $z = (2 - i) (3 + 7 i)$ ，则z的实部为（）

A、13 B、11 C、-1 D、1

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2. 已知集合 $M = {x | 2 x - 1 > 3}$ ， $N = {x | 1 < x + 3 < 10}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(2 ， 5)$ B、 $(2 ， 7)$ C、 $(- 2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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3. 某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（）

A、125 B、100 C、150 D、120

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4. 要得到函数 $y = c o s (π x - 1)$ 的图象，需将函数 $y = c o s π x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{π}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{1}{π}$ 个单位长度 C、向左平移1个单位长度 D、向右平移1个单位长度

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5. 在 $y = x^{3}$ ， $y = t a n x$ ， $y = x^{2} s i n \frac{1}{x}$ 这3个函数中，奇函数的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为 $3 π$ ， $12 π$ ，母线长为2，则该圆台的体积为（）

A、 $6 π$ B、 $18 π$ C、 $7 π$ D、 $21 π$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角”是“ $m > - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若直线 $y = \frac{1}{2} x + 3$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $y = k x - 5$ 的倾斜角为 $3 α$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、5 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ， $\vec{A B} = (- 3 ， 1)$ ， $\vec{O C} = (m ， 4)$ ， $O A ⊥ O C$ ，则（）

A、 $\vec{O B} = (- 2 ， 3)$ B、 $\vec{A C} = (9 ， 2)$ C、 $| \vec{A B} - \vec{O C} | = \sqrt{34}$ D、 $\vec{O B}$ 在 $\vec{O C}$ 上的投影向量为 $\frac{7}{40} \vec{O C}$

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10. 已知直线 $x = \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一条对称轴，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{13 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递减

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11. 已知一个正八面体ABCEDF如图所示， $A B = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B E ∥$ 平面ADF B、点D到平面AFCE的距离为1 C、异面直线AE与BF所成的角为45° D、四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积为 $4 π$

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12. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（）

A、南偏西45°方向 B、南偏西30°方向 C、北偏西30°方向 D、北偏西25°方向

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 若直线 $x + 6 y - 1 = 0$ 与直线 $m x + 2 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ ．

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14. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + a = 0$ 的半径为3，则 $a =$ ．

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15. $l o g_{9} (x^{2} + 1) + l o g_{9} (\frac{1}{x^{2}} + 4)$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} - 8 ， x < 0 ， \\ x^{2} - 4 x ， x \geq 0 ， \end{array}$ 若从集合 ${x \in N | x \leq 10}$ 中随机选取一个元素m ，则函数 $g (x) = f (f (x) - m)$ 恰有7个零点的概率是．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

17. 已知△ABC的三个顶点为 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 2)$ ， $C (5 ， 4)$ ， D为BC的中点，AD所在的直线为l ．

(1)、求l的一般式方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 经过点B ，且 $l_{1} ∥ l$ ，求 $l_{1}$ 在y轴上的截距．

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18. 小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照 $(0 ， 4)$ ， $[4 ， 8)$ ， $[8 ， 12)$ ， $[12 ， 16)$ ， $[16 ， 20)$ ， $[20 ， 24]$ 分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．

(1)、求a的值；

(2)、求通话时间在区间 $[4 ， 12)$ 内的通话次数；

(3)、试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

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19. △ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．已知 $c c o s A - a c o s B + c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 6$ ，求△ABC周长的取值范围．

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20. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．

(1)、若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；

(2)、甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．

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21. 已知大气压强p（帕）随高度h（米）的变化满足关系式

l n p_{0} - l n p = k h

，

p_{0}

是海平面大气压强．

(1)、世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为

p^{'}

，求在海拔8000米处的大气压强（结果用

p_{0}

和

p^{'}

表示）．

(2)、我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：

	平均海拔/米
第一级阶梯	$\geq 4000$
第二级阶梯	1000~2000
第三级阶梯	200~1000

若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为 $p_{2}$ ，在第三级阶梯某处的压强为 $p_{3}$ ， $k = 1 0^{- 4}$ ，证明： $p_{2} \leq p_{3} \leq e^{0.18} p_{2}$ ．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A D = 2$ ， $3 C D = A B = 3$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B ∥ C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD ， E ， F分别为PD ， BC的中点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面PCD ．

(2)、设PC与平面AEF交于点Q ，作出点Q（说明作法），并求PQ的长．

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