黑龙江省双鸭山市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-09-22 类型：开学考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
2. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{27}{2}$ B、 $\frac{27}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

查看试题解析
3. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A、“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B、“至少有一个黑球”与“都是红球” C、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D、“至少有一个黑球”与“都是黑球”

查看试题解析
4. “治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕.请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）

A、平均数大，方差大 B、平均数大，方差小 C、平均数小，方差大 D、平均数小，方差小

查看试题解析
5. 已知事件A与B互斥，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.5$ ，则（）

A、 $P (A B) = 0.2$ B、 $P (A ∪ B) = 0.9$ C、 $P (\bar{A}) = 0.5$ D、 $P (\bar{B}) = 0.6$

查看试题解析
6. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（）

A、 $A B ∥ C M$ B、 $A B ⊥ C N$ C、 $M N ∥ C D$ D、 $M N ∥ E F$

查看试题解析
7. 一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，则它们的75%分位数是（）

A、10.3 B、10.4 C、10.5 D、10.6

查看试题解析
8. 如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为 $S = 2 π R H$ ，球缺的体积公式为 $V = \frac{1}{3} π (3 R - H) H^{2}$ ，其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为 $1 ： 2$ ，则这两个球缺的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{11}{20}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{20}$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $i$ 是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2} = {| \bar{z} |}^{2}$ B、若复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，则z为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ C、若 $| z | \leq 1$ ，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 $2 π$ D、 $z = 2 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ 的一个根

查看试题解析
10. 下列结论正确的是（）

A、已知向量 $\vec{a} = (λ ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ < \frac{2}{3}$ B、 $△ A B C$ 中， $b = 3$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (5 ， 7)$ 能作为所在平面内的一组基底 D、已知平面内任意四点O ， A ， B ， P满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则A ， B ， P三点共线

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，则下列说法正确的是（）

A、 $s i n A > s i n B$ 是 $A > B$ 的充要条件 B、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $A = 45 °$ ，则 $B = 60 °$ C、若 $A = 60 °$ ， $a = 5$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{25}{4} \sqrt{3}$ D、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > {| \vec{A B} |}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

查看试题解析
12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，O为底面ABCD的中心， $A C_{1}$ 交平面 $A_{1} B D$ 于点E ，点F为棱CD的中点，则（）

A、 $A_{1}$ ， E ， O三点共线 B、异面直线BD与 $A C_{1}$ 所成的角为 $90 °$ C、点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、过点 $A_{1}$ ， B ， F的平面截该正方体所得截面的面积为 $\frac{8}{9}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若一个圆锥的轴截面是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

查看试题解析
15. 数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的方差为 $\frac{1}{3} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) - 9$ ，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $2 x_{3} + 1$ 的平均数为.

查看试题解析
16. 棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

(1)、已知 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(2)、已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 值.

查看试题解析
18. 甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为 $\frac{1}{3}$ ，甲、乙都闯关成功的频率为 $\frac{1}{6}$ ，乙、丙都闯关成功的概率为 $\frac{1}{5}$ ，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.

(1)、求乙、丙各自闯关成功的概率；

(2)、求团体总分为4分的概率；

(3)、若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛，求该小组参加复赛的概率.

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，ABCD为正方形，E为PC的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD ， $A B = P A = P D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $P A ∥$ 平面BDE；

(2)、求三棱锥 $C - B D P$ 的体积.

查看试题解析
20. 某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照 $[55 ， 65)$ ， $[65 ， 75)$ ， $[75 ， 85)$ ， $[85 ， 95)$ 进行分组，得到下列统计图.

(1)、分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；

(2)、分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？

(3)、从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，恰有1人生产时间少于65min的概率.

查看试题解析
21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，点D在线段BC上.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{3}{4} π$ ，求AD的长；

(2)、若 $B D = 2 C D$ ， $△ A D C$ 的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ ，求 $\frac{s i n ∠ B A D}{s i n ∠ C A D}$ 的值.

查看试题解析
22. 如图，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 与四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是全等的矩形， $A B = \sqrt{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2} A A_{1}$ .

(1)、若P是棱 $A A_{1}$ 的中点，求证：平面 $P B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $P B_{1} C$ ；

(2)、若P是棱 $A A_{1}$ 上的点，直线BP与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ，求二面角 $B_{1} - P C - C_{1}$ 的正弦值.

查看试题解析