专题1.3二次函数的图像性质（二）【八大题型】2023~2024学年九年级上册数学第1章二次函数（浙教版）

试卷更新日期：2023-09-21 类型：同步测试

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一、利用二次函数图像性质判断函数值大小

1. 已知 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 三点都在二次函数 $y = 2 (x + 1)^{2}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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2. 若二次函数 $y = x_{}^{2} - 6 x + c$ 的图象经过A $(- 1 ， y_{1}^{})$ 、B $(2 ， y_{2}^{})$ 、C $(3 + \sqrt{2} ， y_{3}^{})$ 三点，则关于y₁、y₂、y₃大小关系正确的是（）

A、 $y_{3}^{} < y_{2}^{} < y_{1}^{}$ B、 $y_{2}^{} < y_{1}^{} < y_{3}^{}$ C、 $y_{2}^{} < y_{3}^{} < y_{1}^{}$ D、 $y_{3}^{} < y_{1}^{} < y_{2}^{}$

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3. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3 (a > 0)$ ， $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (4 ， y_{3})$ 是抛物线上三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 由小到大序排列是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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4. 已知点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)$ 的图像上，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则必有（）

A、 $x_{1} > x_{2} > 1$ B、 $x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $| x_{1} - 1 | < | x_{2} - 1 |$ D、 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$

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二、利用二次函数图像性质求参数特定值或取值范围

5. 已知二次函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k$ 的图像与 $x$ 轴无交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > \frac{1}{2}$ B、 $k < 2$ C、 $k > 2$ D、 $k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 1)$ 和 $B (2 ， 4)$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

(2)、当自变量 $x$ 的值满足 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数图象与 $x$ 轴无交点，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

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7. 已知二次函数 $y = (m - 2) x^{2}$ （ $m$ 为实数，且 $m \neq 2$ ），当 $x \leq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 2$ C、 $m > 0$ D、 $m < 2$

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8. 二次函数 $y = x^{2} + b x + 1$ 中当 $x > 1$ 时 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则一次项系数 $b$ 满足（）

A、 $b > - 2$ B、 $b \geq - 2$ C、 $b < - 2$ D、 $b = - 2$

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三、根据分段函数最值求参数的值

9. 二次函数 $y = a x^{2} + 4 x + 1$ （ $a$ 为实数，且 $a < 0$ ），对于满足 $0 \leq x \leq m$ 的任意一个 $x$ 的值，都有 $- 2 ≤ y ≤ 2$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（）

A、2 B、2或 $- \sqrt{3}$ C、2或 $- \sqrt{3}$ 或- $\frac{7}{4}$ D、2或 $\pm \sqrt{3}$ 或- $\frac{7}{4}$

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11. 已知二次函数 $y = (x - a)^{2} + 5 - a^{2}$ ，当 $2 a \leq x \leq 2 a + 2$ 时，有最大值 $y_{1}$ 及最小值 $y_{2}$ ，当 $y_{1} - y_{2} = a^{2} - 1$ 时，实数 $a$ 的值为（）

A、-3或-1或5 B、-3或5 C、-1或 $- \frac{5}{4}$ D、-3或 $- \frac{5}{4}$ 或5

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a + 2 （ a \neq 0 ）$ ，若 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）

A、 $\pm \frac{4}{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ 或 $- \frac{4}{3}$ D、1或 $\frac{4}{3}$

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13. 已知函数 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c为常数）的图像经过点 $(0 ， 3)$ ， $(6 ， 3)$ .

(1)、求b，c的值；

(2)、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求y的最大值与最小值之差；

(3)、当 $k - 4 \leq x \leq k$ 时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值.

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四、根据分段函数的最值求参数取值范围

14. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 5 (a > 0)$ ，当 $0 \leq x \leq m$ 时，y有最小值 $- 4 a + 5$ 和最大值5，则m的取值范围为（）

A、 $m \geq 2$ B、 $0 \leq m \leq 2$ C、 $1 \leq m \leq 2$ D、 $2 \leq m \leq 4$

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15. 已知函数 $y = x^{2} + x - 1$ 在 $m \leq x \leq 1$ 的最大值是1，最小值是 $- \frac{5}{4}$ ，则m的取值范围是.

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五、利用二次函数图像性质求最值

16. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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17. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + m x + m^{2} - m (m$ 为常数 $)$ 的图象经过点 $(0 ， 6)$ ，其对称轴在 $y$ 轴左侧，则该二次函数有（）

A、最大值 $5$ B、最大值 $\frac{15}{4}$ C、最小值 $5$ D、最小值 $\frac{15}{4}$

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18. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = x^{2} + 2 b x + a$ ， $y_{2} = a x^{2} + 2 b x + 1$ （a，b；是实数， $a \neq 0$ ）的最小值分别为m和n，若 $m + n = 0$ ，则 $m n$ 的值为（）

A、0 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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19. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 c x + c$ 的图象经过点 $A (a ， c) ， B (b ， c)$ ，且满足 $0 < a + b < 2$ .当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（）

A、 $n = - 3 m - 4$ B、 $m = - 3 n - 4$ C、 $n = m^{2} + m$ D、 $m = n^{2} + n$

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六、二次函数对称性的运用

20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 与x轴重合，顶点 A、D在抛物线 $y = - 4 x^{2} + c$ 上．若抛物线的顶点到x轴的距离比 $B C$ 长4，则c的值为．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $O A B C$ 的点 $A$ 在 $y$ 轴的负半轴上，抛物线 $y = a {(x + 2)}^{2} + c (a > 0)$ 的顶点为 $E$ ，且经过点 $A$ 、 $B$ ．若 $△ A B E$ 为等腰直角三角形，则 $a$ 的值是．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 、 $C E F G$ 的顶点D、F都在抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 上，点B、C、E均在y轴上．若点O是 $B C$ 边的中点，则正方形 $C E F G$ 的边长为．

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23. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 与 $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ 的图象，则阴影部分的面积是．

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七、二次函数与一次函数图像共存问题

24. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = b (x - a)^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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25. 一次函数 $y = b x + a (b \neq 0)$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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26. 在同一坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 与二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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27. 在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax²+b的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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八、二次函数图像与系数关系的一般性结论

28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，经过点 $(3 ， 0)$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $3 a + c = 0$ ；④抛物线经过点 $(- 3 ， y_{1})$ 和 $(4 ， y_{2})$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；⑤ $a m^{2} - b ≤ a - b m$ （ $m$ 为任意实数）．其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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29. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数，且 $a \neq 0$ ）的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ .下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a - b = 0$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④ $9 a - 3 b + c < 0$ .其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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30. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (m ， 0)$ ，其中 $2 < m < 4$ ，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：① $a < 0$ ；② $4 c > \frac{b^{2}}{a}$ ；③若点 $C (- 1 ， y_{1})$ ， $D (2 ， y_{2})$ ， $E (4 ， y_{3})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ ；④ $c + 8 a < 0$ ．其中一定正确的结论的序号是．

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31. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

（a，b，c是常数，

a \neq 0

）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

x	…	－2	－1	0	1	2	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	t	m	－2	－2	n	…

当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，与其对应的函数值 $y > 0$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②－2和3是关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = t$ 的两个根；③ $0 < m + n < \frac{20}{3}$ ．则所有正确结论的序号为．

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