2024高考一轮复习第二十五讲解三角形综合

试卷更新日期：2023-09-21 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 2 ， B C > \sqrt{2}$ ，则 $c o s A$ 的范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{5}{6})$ B、 $(- 1 ， \frac{11}{12})$ C、 $(\frac{5}{6} ， 1)$ D、 $(\frac{11}{12} ， 1)$

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2. 在三角形 $A B C$ 中， $A B = 7 ， B C = 8 ， A C = 9 ， A M$ 和 $A N$ 分别是 $B C$ 边上的高和中线，则 $\vec{M N} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、14 B、15 C、16 D、17

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3. 在 $▱ A B C D$ 中，已知 $E$ 为 $B C$ 的中点， $A B = \sqrt{3} ， B E = 1$ ，则 $c o s ∠ A E D$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列， $C = 2 (A + B)$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为 $\frac{1}{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，且 $∠ C$ 为钝角， $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{7}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{5} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 12 0^{∘}$ ， $| A B | = \sqrt{2}$ ， $∠ A$ 的角平分线 $A D$ 的长为 $\sqrt{3}$ ，则 $| A C | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为 $h$ ， EG为测量标杆问的距离，记为 $d$ ， GC、EH分别记为 $a ， b$ ，则该山体的高AB=（）

A、 $\frac{h d}{a - b} + h$ B、 $\frac{h d}{a - b} - h$ C、 $\frac{h d}{a - b} + d$ D、 $\frac{h d}{a - b} - d$

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8. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} = c^{2} - \sqrt{2} b c$ 且 $b c o s C = a s i n B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $t a n A = - \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} a$ ，则 $b c$ 的最小值为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、48 D、 $24 \sqrt{3}$

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10. 在钝角 $△ A B C$ 中， $s i n A = \frac{2 \sqrt{14}}{9}$ ， $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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11. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ .若 $s i n^{2} C = 2 s i n^{2} A - 3 s i n^{2} B$ ，则 $t a n B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{11 \sqrt{5}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $A C = 3 B C$ ， $s i n ∠ B D C = 3 s i n ∠ B A C$ ，当 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} - | \vec{A B} |$ 取得最小值时， $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{16}$

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二、填空题

13. 如图，圆的内接四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = 3 B C = 3$ ．则 $△ A C D$ 的面积为．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，且 $A D = 3 D C$ ， $B D = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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15. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a c o s (B - C) + a c o s A = 2 \sqrt{3} c s i n B c o s A$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $a = 2$ ， $a c o s C = b - \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a c o s B = b \cos A$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 4$ ，则 $A C + \sqrt{2} A B$ 的最大值为.

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边为 $a ， b ， c ， c \cdot s i n A = a \cdot c o s C$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S ， S = \frac{\sqrt{2}}{4} b c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，过 $△ A B C$ 的重心点 $G$ 的直线 $l$ 与边 $a ， c$ 的交点分别为 $E ， F ， \vec{B C} = λ \vec{B E}$ ， $\vec{B A} = μ \vec{B F}$ ，请计算 $λ + μ$ 的值.

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 c^{2} = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (t a n A + t a n B)$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若边 $a = \sqrt{2}$ ，边 $B C$ 的中点为 $D$ ，求中线 $A D$ 长的取值范围.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 (b^{2} - a^{2}) + c^{2} = 0$ .

(1)、求 $\frac{s i n A c o s B}{c o s A s i n B}$ 的值；

(2)、求 $A - B$ 的最大值.

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21. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 中三内角A，B，C的对边，且 $b = 1$ ， $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = 1 + c$ ， D为直线BC上一动点．

(1)、求A；

(2)、在① $c = 3$ ， ② $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， ③ $s i n B = \frac{\sqrt{21}}{14}$ 这三个条件中任选一个，求线段AD长度的最小值．

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b^{2} + c^{2} = a^{2} - b c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b s i n A = 4 s i n B$ ，且 $l g b + l g c \geq 1 - 2 c o s (B + C)$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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23. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，② $\frac{a + b}{s i n C} = \frac{c - b}{s i n A - s i n B}$ ， ③ $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{c + b}{a}$ ．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ____．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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2024高考一轮复习 第二十五讲 解三角形综合

一、选择题

二、填空题

三、解答题

2024高考一轮复习第二十五讲解三角形综合