广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-09-21 类型：开学考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、x²－4x＋4＝x（x－4）＋4 B、（x＋1）²＝x²＋2x＋1 C、x²－4＝（x＋2）（x－2） D、15x⁵＝3x²•5x³

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3. 用配方法解方程x²－4x－10＝0，下列配方结果正确的是（）

A、（x＋2）²＝14 B、（x＋2）²＝6 C、（x－2）²＝14 D、（x－2）²＝6

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4. 一元二次方程－x²＋2x－1＝0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 一次函数y₁＝kx＋b和y₂＝2x的图象如图所示，则kx＋b≥2x的解集是（）

A、x≥1 B、x≤2 C、x＜1 D、x≤1

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、若a＞b ，则1－2a＞1－2b B、等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D、一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°

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7. 某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{20000}{x + 50} - \frac{20000}{x} = 20$ B、 $\frac{20000}{x - 50} - \frac{20000}{x} = 20$ C、 $\frac{20000}{x} - \frac{20000}{x + 50} = 20$ D、 $\frac{20000}{x} - \frac{20000}{x - 50} = 20$

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8. 如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（）

A、4.8cm B、9.6cm C、5cm D、10cm

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9. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{3 a}{3 - x}$ ＝4的解为非负数，则a的取值范围是（）

A、a≥－4 B、a＞－4 C、a≥－4且a≠－1 D、a＞－4且a≠－1

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10. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；
②△EOF≌△BOC；③DF²＋BE²＝2OE²；④正方形ABCD面积是四边形CEOF的面积为的4倍．其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 因式分解：2x³－18x＝．

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12. 已知方程2x²－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是．

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13. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 5} + \frac{x - a}{5 - x} = 7$ 有增根，则a的值为

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14. 如图，在周长为32的平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O ， OE⊥BD交AD于点E ，则△ABE的周长为．

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15. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为．

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三、解答题（共55分）

16. 解方程：

(1)、（x－1）²＝3（x－1）；

(2)、x²－4x＋1＝0．

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17.

(1)、解不等式组： ${\begin{cases} 3 (x + 2) \geq 2 x + 5 \\ \frac{x}{3} - 1 < \frac{x - 2}{2} \end{cases}$ 并把它的解集在数轴上表示出来．

(2)、先化简，再求值： $(a + 2 - \frac{5}{a - 2}) \div \frac{3 - a}{2 a - 4}$ ，其中a＝－2．

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18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

(1)、将△ABC向右平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，请画出△A₁B₁C₁；

(2)、画出△A₁B₁C₁关于点O的中心对称图形△A₂B₂C₂；

(3)、若将△ABC绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂ ，旋转中心的坐标为．

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19. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC ， AB＝AD ，对角线AC ， BD交于点O ， AC平分∠BAD ，过点C作CE⊥AB ，交AB的延长线于点E ，连接OE ．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形．

(2)、若AB＝5，BD＝6，求OE的长．

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20. 某服装店老板用4000元购进了一批甲款 $T$ 恤，用8800元购进了一批乙款 $T$ 恤，已知所购乙款 $T$ 恤数量是甲款 $T$ 恤数量的2倍，购进的乙款 $T$ 恤单价比甲款 $T$ 恤单价贵5元．

(1)、购进甲、乙两款 $T$ 恤的单价分别是多少元？

(2)、老板把这两种 $T$ 恤的标价都定为每件100元，甲款 $T$ 恤打九折销售，乙款 $T$ 恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种 $T$ 恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款 $T$ 恤至少要销售多少件？

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21. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′．

【问题解决】：

(1)、如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时CB′的长；

(2)、若α＝90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交B′E′于点F ，
①试判断四边形AEFE′的形状，并说明理由；
②连接CE ，求CE的长；

(3)、在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE′长度的取值范围．

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22. 问题提出

(1)、如图①，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，连接DE ，则DE与BC的数量关系是，位置关系是；

(2)、问题探究
如图②，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4 $\sqrt{2}$ ， CD＝4，E为AD中点，连接BE ，求BE的最大值；

(3)、问题解决
如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD ，其中BC＝20米，AD＝CD ， AD⊥CD ， AB∥CD ，由于受地理位置的影响，∠ABC＜90°．根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口O定为BC的中点，出口定为点D ，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊OD最长，试求绿色长廊OD最长为多少米？

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