福建省福州十一中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-09-21 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（）．

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别为 $A B ， A C$ 的中点，若 $D E = 2$ ，则 $B C$ 的长度为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x = 5$ 时，此方程可变形为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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4. 在方差计算公式： $s^{2} = \frac{1}{10} [(x_{1} - 15)^{2} + (x_{2} - 15)^{2} + \dots + (x_{10} - 15)^{2}]$ 中， $10$ ， $15$ 分别表示（）

A、数据的个数和方差 B、平均数和数据的个数 C、数据的个数和平均数 D、数据的方差和平均数

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5. 下面哪个点不在函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象上（）

A、 $(- 5 ， 13)$ B、 $(0.5 ， 2)$ C、 $(3 ， 0)$ D、 $(1 ， 1)$

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6. 某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中， $7$ 位评委给某位选手的评分各不相同，去掉 $1$ 个最高分和 $1$ 个最低分，剩下的 $5$ 个评分与原始的 $7$ 个评分相比一定不发生变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数

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7. 如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）

A、6 B、7 C、8 D、12

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，顶点坐标为 $C (1 ， k)$ ，与 $y$ 轴的交点在 $(0 ， 2)$ 、 $(0 ， 3)$ 之间 $($ 不包含端点 $)$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $2 < k < 3$ B、 $\frac{5}{2} < k < 4$ C、 $\frac{8}{3} < k < 4$ D、 $3 < k < 4$

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9. 小带和小路两个人开车从 $A$ 城出发匀速行驶至 $B$ 城 $.$ 整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开 $A$ 城的距离 $y ($ 千米 $)$ 与行驶的时间 $t ($ 小时 $)$ 之间的函数关系如图所示，有下列结论：

      $① A$ 、 $B$ 两城相距 $300$ 千米；

      $②$ 小路的车比小带的车晚出发 $1$ 小时，却早到 $1$ 小时；

      $③$ 小路的车出发后 $2.5$ 小时追上小带的车；

      $④$ 当 $t = \frac{5}{4}$ 时，小带和小路的车相距 $50$ 千米．

其中正确的结论有（）

A、 $① ② ③ ④$ B、 $① ② ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ②$

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10. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - n = 0$ 的两个不相等的实数根， $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - n = 0$ 的两个不相等的实数根，其中 $n > 0 .$ 若 $| x_{1} - x_{4} | = 2 | x_{2} - x_{3} |$ ，则 $n$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $12$ D、 $18$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 2 \sqrt{3} = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - 2 m =$ ．

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12. 如图，已知△ABC中，AB＝5 cm，BC＝12 cm，AC＝13 cm，那么AC边上的中线BD的长为cm.

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13. 若函数 $y = k x + k - 1$ 是正比例函数，则 $k$ 的值为．

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14. 若直线 $y = - x + a$ 和直线 $y = x + b$ 的交点坐标为 $(m ， 3)$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + b (a < 0)$ 经过 $A (2 n + 3 ， y_{1})$ ， $B (n - 1 ， y_{2})$ 两点，若 $A$ ， $B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $n$ 的取值范围是．

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三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 解方程： $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．

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四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + (2 k + 1) x + 2 = 0 (k \neq 0)$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程两个根均为整数，且 $k$ 为正整数，求 $k$ 的值．

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19. 已知一次函数的图象过点 $(6 ， - 4)$ 与 $(12 ， 4)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．

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20. 列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 $2 m$ ，另一边减少了 $3 m$ ，剩余一块面积为 $12 m^{2}$ 的矩形空地 $($ 空白处 $)$ ，求原正方形空地的边长．

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21. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D E C$ 是矩形；

(2)、在▱ $A B C D$ 中，取 $A B$ 的中点 $M$ ，连接 $C M$ ，若 $C M = 5$ ，且 $A C = 8$ ，求四边形 $A D E C$ 的面积．

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22. 2017年

3

月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家讨论的重点内容之一．

2017

年

6

月

5

日是世界环境日，为纪念第

46

个世界环境日，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有

900

名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了

50

名学生的成绩进行统计分析，经分组整理后绘制成频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表

分组 $/$ 分	频数	频率
$50 ～ 60$	$4$	$0.08$
$60 ～ 70$	$a$	$0.16$
$70 ～ 80$	$10$	$0.20$
$80 ～ 90$	$16$	$0.32$
$90 ～ 100$	$b$	$c$
合计	$50$	$1$

(1)、请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、若成绩在

90

分以上

(

含

90

分

)

为优秀，则该校成绩优秀的约为人．

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23. 在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $C D$ 上一点．

(1)、求作点 $F$ ，使得 $D$ ， $F$ 关于直线 $A E$ 对称 $($ 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、平移线段 $D E$ ，使点 $E$ 与点 $F$ 重合，点 $D$ 的对应点为 $G .$ 求证点 $G$ 落在线段 $A E$ 上．

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24. 已知正方形 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 为平面内两点．

(1)、 $[$ 建模探究 $]$ 如图 $1$ ，当点 $E$ 在边 $A B$ 上时， $D E ⊥ D F$ ，且 $B$ ， $C$ ， $F$ 三点共线，求证： $A E = C F$ ；

(2)、 $[$ 类比应用 $]$ 如图 $2$ ，当点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 外部时， $D E ⊥ D F$ ， $A E ⊥ E F$ ，且 $E$ ， $C$ ， $F$ 三点共线，求证： $E A + E C = \sqrt{2} D E$ ．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1$ ， $P (x_{1} ， m)$ ， $Q (x_{2} ， m) (x_{1} < x_{2})$ 是此抛物线上的两点．

(1)、若 $a = 1$ ，
①求抛物线顶点坐标；
②若 $2 x_{2} - x_{1} = 7$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若存在实数 $b$ ，使得 $x_{1} \leq b - 3$ ，且 $x_{2} \geq b + 7$ 成立，则 $m$ 的取值范围是．

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