河南省郑州市中牟县重点学校2023-2024学年九年级上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-09-21 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $x < y$ ，下列式子不成立的是（）

A、 $x + 10 < y + 10$ B、 $x + 2 < y + 2$ C、 $- 2023 x < - 2023 y$ D、 $\frac{1}{2023} x < \frac{1}{2023} y$

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3. 若将 $\frac{x^{2} y}{x - y}$ 中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、扩大4倍 D、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$

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4. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ④$ D、 $② ③$

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5. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分 $.$ 若从这四部著作中（随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）

A、 $\frac{9600}{1.5 x} - \frac{6000}{x} = 0.4$ B、 $\frac{9600}{x} - \frac{6000}{1.5 x} = 0.4$ C、 $\frac{6000}{1.5 x} - \frac{9600}{x} = 0.4$ D、 $\frac{6000}{x} - \frac{9600}{1.5 x} = 0.4$

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7. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 8 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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8. 关于 $x$ 的不等式 $x + m \geq - 1$ 的解集如图所示，则 $m$ 等于（）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 3$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $M$ 和 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ，则下列说法中正确的个数是（）

      $①$ 若 $C D = 3 c m$ ，则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为 $3 c m$ ；

      $② D B = 2 C D$ ；

      $③$ 点 $D$ 在 $A B$ 的中垂线上；

      $④$ 若 $S_{△ A C D} = 4$ ，则 $S_{△ A B C} = 12$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 在原点上， $O A$ 边在 $x$ 轴的正半轴上 $A B ⊥ x$ 轴， $A B = C B = 2$ ， $O A = O C$ ， $∠ A O C = 60 °$ ，将四边形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第 $2023$ 次旋转结束时，点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， \sqrt{3})$ B、 $(3 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ D、 $(1 ， - \sqrt{3})$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 请写出一个分式，并写出使其有意义的条件．

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12. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ， $∠ B C D$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $E F$ 的长是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 上的点， $A B = 12 c m$ ， $A E = 6 c m$ ， $E C = 4 c m$ ，且 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ，则 $A D =$ ．

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14. 如图，已知函数 $y = - x + b$ 与函数 $y = k x + 7$ 的图象交于点 $P (- 2 ， 3)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- x + b \leq k x + 7$ 的解集是．

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15. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为 $10 c m$ ，动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A \to C \to B$ 的方向以 $3 c m / s$ 的速度运动，动点 $N$ 从点 $C$ 出发，沿 $C \to A \to B \to C$ 的方向以 $2 c m / s$ 的速度运动，且动点 $M$ ， $N$ 同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动 $.$ 那么运动到第秒时，点 $A$ ， $M$ ， $N$ 以及 $△ A B C$ 的边上一点 $D$ 恰能构成一个平行四边形．

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三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.

(1)、因式分解： $(x - 2 y)^{2} - x (x - 2 y)$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x > \frac{x + 2}{3} \\ 5 x - 3 < 5 + x \end{array}$ ．

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17. 化简 $(\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x}$ ，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同学：解：原式 $= [\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}] \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} \dots$ ；

乙同学：解：原式 $= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} \dots .$

(1)、甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是； $($ 填序号 $)$
      $①$ 等式的基本性质；
      $②$ 分式的基本性质；
      $③$ 乘法分配律；
      $④$ 乘法交换律．

(2)、请从甲、乙同学的解法中选择一种，写出完整的化简过程，然后从 $- 2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ 中挑选一个合适的数代入求值．

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (1 ， 4)$ 均在正方形网格的格点上．

⑴将 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴方向向左平移 $3$ 个单位后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕 $A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，并写出顶点 $A_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ 的坐标．

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19. 如图， $△ A B C$ 中，点D在边AC上，且 $A D = A B$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作出 $∠ A$ 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证： $D E = B E$ ．

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20. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．

(1)、求跳绳和毽子的单价分别是多少元？

(2)、由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．

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21. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明

(1)、为了证明该定理，小明同学画出了图形

(

如图

1)

，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在▱ $A B C D$ 中，对角线 $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $O$ ．

求证：▱ $A B C D$ 是菱形．

(2)、知识应用

如图 $2$ ，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A D = 5$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ．

求证：▱ $A B C D$ 是菱形．

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22. 已知： $△ A B C$ 是等腰三角形，其中 $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上的任意一点，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $α$ ，使点 $A$ 落在点 $E$ 处，连接 $A E$ 、 $D E$ ．

(1)、当 $α = 120 °$ 时，如图 $1$ ，此时 $A D$ 恰好平分 $∠ E A C$ ，则 $A E$ 和 $A C$ 的数量关系是：；

(2)、当 $α = 90 °$ 时：
$①$ 请判断线段 $B A$ ， $B D$ ， $B E$ 的数量关系，并根据图 $2$ 进行证明 $($ 提示：过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，交 $A B$ 与 $F)$ ；

$②$ 若 $A B = 6$ ，在点 $D$ 的移动过程中，当 $△ A D C$ 是等腰三角形时，直接写出此时 $△ A B E$ 的面积．

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