湖北省黄石市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-09-21 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数 $a$ 与 $b$ 在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）

A、 $a > b$ B、 $a = b$ C、 $a < b$ D、无法确定

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2. 下列图案中，是中心对称图形．（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x^{2} + 2 x^{2} = 6 x^{4}$ B、 $(- 2 x^{2})^{3} = - 6 x^{6}$ C、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ D、 $- 6 x^{2} y^{3} \div 2 x^{2} y^{2} = - 3 y$

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4. 如图，根据三视图，它是由个正方体组合而成的几何体．（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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5. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \geq 0$ 且 $x \neq 1$ D、 $x > 1$

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6. 我市某中学开展“经典诵读”比赛活动， $810$ 班在此次比赛中的得分分别是： $9.1$ ， $9.8$ ， $9.1$ ， $9.2$ ， $9.9$ ， $9.1$ ， $9.9$ ， $9.1$ ，这组数据的众数和中位数分别是（）

A、 $9.1$ ， $9.1$ B、 $9.1$ ， $9.15$ C、 $9.1$ ， $9.2$ D、 $9.9$ ， $9.2$

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7. 如图，已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， m)$ ，若将线段 $A B$ 平移至 $C D$ ，其中点 $C (- 2 ， 1)$ ， $D (a ， n)$ ，则 $m - n$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $3$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图： $①$ 分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $E$ ， $F$ 两点， $E F$ 和 $B C$ 交于点 $O$ ； $②$ 以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点 $D$ ； $③$ 分别以点 $D$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ ，连接 $A M$ ， $A M$ 和 $C D$ 交于点 $N$ ，连接 $O N .$ 若 $A B = 9$ ， $A C = 5$ ，则 $O N$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $4$ D、 $\frac{9}{2}$

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9. 如图，有一张矩形纸片 $A B C D .$ 先对折矩形 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平 $.$ 再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ ， $M N .$ 观察所得的线段，若 $A E = 1$ ，则 $M N =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过三点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (- 3 ， 0)$ ，且对称轴为直线 $x = - 1 .$ 有以下结论： $① a + b + c = 0$ ； $② 2 c + 3 b = 0$ ； $③$ 当 $- 2 < x_{1} < - 1$ ， $0 < x_{2} < 1$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ； $④$ 对于任何实数 $k > 0$ ，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = k (x + 1)$ 必有两个不相等的实数根 $.$ 其中结论正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11. 因式分解： $x (y - 1) + 4 (1 - y) =$ ．

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12. 计算： $(- \frac{1}{3})^{- 2} + (1 - \sqrt{2})^{0} - 2 c o s 60 ° =$ ．

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13. 据 $《$ 人民日报 $》 (2023$ 年 $5$ 月 $9$ 日 $)$ 报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为 $18000000$ 千瓦，比上年同期翻一番 $.$ 其中 $18000000$ 用科学记数法表示为．

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14. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务 $.$ 如图，当“神舟”十四号运行到地球表面 $P$ 点的正上方的 $F$ 点处时，从点 $F$ 能直接看到的地球表面最远的点记为 $Q$ 点，已知 $P F = \frac{6400}{9} k m$ ， $∠ F O Q = 20 °$ ， $c o s 20 ° \approx 0.9$ ，则圆心角 $∠ P O Q$ 所对的弧长约为 $k m ($ 结果保留 $π)$ ．

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15. 如图，某飞机于空中 $A$ 处探测到某地面目标在点 $B$ 处，此时飞行高度 $A C = 1200$ 米，从飞机上看到点 $B$ 的俯角为 $37 °$ ，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动 $.$ 当飞机飞行 $943$ 米到达点 $D$ 时，地面目标此时运动到点 $E$ 处，从点 $E$ 看到点 $D$ 的仰角为 $47.4 °$ ，则地面目标运动的距离 $B E$ 约为米 $. ($ 参考数据： $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $t a n 47.4 ° \approx \frac{10}{9})$

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16. 若实数 $a$ 使关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} - 2 < x - 1 < 3 \\ x - a > 0 \end{array}$ 的解集为 $- 1 < x < 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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17. 如图，点 $A (a ， \frac{5}{a})$ 和 $B (b ， \frac{5}{b})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，其中 $a > b > 0 .$ 过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，则 $△ A O C$ 的面积为；若 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{15}{4}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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18. 如图，将▱ $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到▱ $A B' C' D'$ 的位置，使点 $B'$ 落在 $B C$ 上， $B' C'$ 与 $C D$ 交于点 $E .$ 若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $B B' = \frac{3}{2}$ ，则 $∠ B A B' =$ $($ 从“ $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ ”中选择一个符合要求的填空 $)$ ； $D E =$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 先化简，再求值： $(\frac{2}{m - 3} + 1) \div \frac{2 m - 2}{m^{2} - 6 m + 9}$ ，然后从 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 中选择一个合适的数代入求值．

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，且 $B M = C N$ ， $A N$ 与 $D M$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B N$ ≌ $△ D A M$ ；

(2)、求 $∠ A P M$ 的大小．

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21. 健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉

.

目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一

.

某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的

《

体质健康标准登记表

》

，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为

x

，得到下表：

成绩	频数	频率
不及格 $(0 \leq x \leq 59)$	$6$
及格 $(60 \leq x \leq 74)$		$20 %$
良好 $(75 \leq x \leq 89)$	$18$	$40 %$
优秀 $(90 \leq x \leq 100)$	$12$

(1)、请求出该班总人数；

(2)、该班有三名学生的最后得分分别是

68

，

88

，

91

，将他们的成绩随机填入表格

，求恰好得到的表格是

的概率；

(3)、设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为

a

，

b

，

c

，

d

，若

2 a + 3 b + 6 c + 4 d = 1275

，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．

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22. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x - 1 = 0$ ，当 $m = 1$ 时，该方程的正根称为黄金分割数 $.$ 宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．

(1)、求黄金分割数；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ 满足： $a^{2} + m a = 1$ ， $b^{2} - 2 m b = 4$ ，且 $b \neq - 2 a$ ，求 $a b$ 的值；

(3)、已知两个不相等的实数 $p$ ， $q$ 满足： $p^{2} + n p - 1 = q$ ， $q^{2} + n q - 1 = p$ ，求 $p q - n$ 的值．

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23. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为 $10$ 万元 $/$ 件 $.$ 设第 $x$ 个生产周期设备的售价为 $z$ 万元 $/$ 件，售价 $z$ 与 $x$ 之间的函数解析式是 $z = {\begin{array}{l} 15 ， 0 < x \leq 12 \\ m x + n ， 12 < x \leq 20 \end{array}$ ，其中 $x$ 是正整数 $.$ 当 $x = 16$ 时， $z = 14$ ；当 $x = 20$ 时， $z = 13$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、设第 $x$ 个生产周期生产并销售完设备的数量为 $y$ 件，且 $y$ 与 $x$ 满足关系式 $y = 5 x + 20$ ．
$①$ 当 $12 < x \leq 20$ 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？

$②$ 当 $0 < x \leq 20$ 时，若有且只有 $3$ 个生产周期的利润不小于 $a$ 万元，求实数 $a$ 的取值范围．

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24. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D A$ 和 $⊙ O$ 相交于点 $F$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $C D ⊥ D A$ ， $A C$ 交 $B F$ 于点 $P$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A C \cdot P C = B C^{2}$ ；

(3)、已知 $B C^{2} = 3 F P \cdot D C$ ，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于两点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线上有一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，其中 $y_{0} < 0$ ，若 $∠ C A O + ∠ A B P = 90 °$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(3)、若点 $D$ ， $E$ 分别是线段 $A C$ ， $A B$ 上的动点，且 $A E = 2 C D$ ，求 $C E + 2 B D$ 的最小值．

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