内蒙古呼和浩特市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-09-21 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 2$ 的绝对值是（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上 $.$ 若 $∠ 1 = 68 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $32 °$ C、 $22 °$ D、 $68 °$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $\sqrt{(- 7)^{2}} = - 7$ D、 $4 a^{2} \cdot a = 4 a^{3}$

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4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x > 2$ C、 $x \geq 2$ D、 $x < 2$

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6. 在同一直角坐标系中，函数 $y = - k x + k$ 与 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的大致图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 的垂直平分线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N .$ 若 $A M = 1$ ， $B N = 2$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起 $.$ 从四张图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为 $A C$ 边上的中点， $P M$ 交 $A B$ 的延长线于点 $M$ ， $P N$ 交 $B C$ 的延长线于点 $N$ ，且 $P M ⊥ P N .$ 若 $B M = 1$ ，则 $△ P M N$ 的面积为（）

A、 $13$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $8$ D、 $\frac{13}{2}$

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10. 关于 $x$ 的二次函数 $y = m x^{2} - 6 m x - 5 (m \neq 0)$ 的结论：
$①$ 对于任意实数 $a$ ，都有 $x_{1} = 3 + a$ 对应的函数值与 $x_{2} = 3 - a$ 对应的函数值相等．

$②$ 若图象过点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，点 $C (2 ， - 13)$ ，则当 $x_{1} > x_{2} > \frac{9}{2}$ 时， $\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ．

$③$ 若 $3 \leq x \leq 6$ ，对应的 $y$ 的整数值有 $4$ 个，则 $- \frac{4}{9} < m \leq - \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{3} \leq m < \frac{4}{9}$ ．

$④$ 当 $m > 0$ 且 $n \leq x \leq 3$ 时， $- 14 \leq y \leq n^{2} + 1$ ，则 $n = 1$ ．

其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分解因式 $2 b^{3} - 4 b^{2} + 2 b =$ ．

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12. 圆锥的高为 $2 \sqrt{2}$ ，母线长为 $3$ ，沿一条母线将其侧面展开，展开图 $($ 扇形 $)$ 的圆心角是度，该圆锥的侧面积是 $($ 结果用含 $π$ 的式子表示 $)$ ．

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13. 某乳业公司要出口一批规格为 $500$ 克 $/$ 罐的奶粉，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近 $.$ 质检员从两厂的产品中各随机抽取 $15$ 罐进行检测，测得它们的平均质量均为 $500$ 克，质量的折线统计图如图所示，观察图形，甲、乙两个厂家分别提供的 $15$ 罐奶粉质量的方差 $s_{甲}^{2}$ $s_{乙}^{2} . ($ 填“ $>$ ”或“ $=$ ”或“ $<$ ” $)$

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ 且 $∠ A C B = 90 °$ ，弦 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，连接 $A D$ ， $B D .$ 若 $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，则 $B D =$ ， $C D =$ ．

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15. 甲、乙两船从相距 $150 k m$ 的 $A$ ， $B$ 两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 $A$ 地顺流航行 $90 k m$ 时与从 $B$ 地逆流航行的乙船相遇 $.$ 甲、乙两船在静水中的航速均为 $30 k m / h$ ，则江水的流速为 $k m / h$ ．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 \sqrt{5}$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $B E$ 与 $A C$ 交于点 $M$ ， $F$ 是 $A D$ 上一点，连接 $B F$ 分别交 $A C$ ， $A E$ 于点 $G$ ， $H$ ，且 $B F ⊥ A E$ ，连接 $M H$ ，则 $A H =$ ， $M H =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、计算： $| \sqrt{5} - 3 | + (\frac{1}{2})^{- 1} - \sqrt{20} + \sqrt{3} c o s 30 °$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} - 3 (x - 2) \geq 4 - x \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ．

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18. 如图所示，小明上学途中要经过 $A$ ， $B$ 两地，由于 $A$ ， $B$ 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 $A C$ ， $C B .$ 小明想知道 $A$ ， $B$ 两地间的距离，测得 $A C = 50 m$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，请帮小明求出两地间距离 $A B$ 的长 $. ($ 结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可 $)$

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19.

3

月21日是国际森林日

.

某中学为了推动学生探索森林文化，进行自然教育，开展了“森林

— —

地球之肺”相关知识的测试活动

.

测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成

A

，

B

，

C

，

D

，

E

五个等级，并绘制了如图不完整的统计图

.

请结合统计图，解答下列问题：

等级	成绩 $x /$ 分
$E$	$50 \leq x < 60$
$D$	$60 \leq x < 70$
$C$	$70 \leq x < 80$
$B$	$80 \leq x < 90$
$A$	$90 \leq x \leq 100$

(1)、本次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生的成绩，频数分布直方图中

m =

▲ ；补全学生成绩频数分布直方图；

(2)、所抽取学生成绩的中位数落在等级；

(3)、若成绩在

60

分及

60

分以上为合格，全校共有

920

名学生，估计成绩合格的学生有多少名？

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $D E$ 平分 $∠ A D B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $B F$ 平分 $∠ C B D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是菱形且 $A B = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，求四边形 $B E D F$ 的面积．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形 $A B C D E F$ 的对称中心 $P$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $F$ 在 $y$ 轴上，已知 $A B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、判断点 $E$ 是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；

(2)、求出直线 $E P$ ： $y_{2} = a x + b (a \neq 0)$ 的解析式，并根据图象直接写出当 $x > 0$ 时，不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

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22. 学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动

.

到达农场后分组进行劳动，若每位老师带

38

名学生，则还剩

6

名学生没老师带；若每位老师带

40

名学生，则有一位老师少带

6

名学生

.

劳动实践结束后，学校在租车总费用

2300

元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有

1

名老师

.

现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

	甲型客车	乙型客车
载客量 $/ ($ 人 $/$ 辆 $)$	$45$	$30$
租金 $/ ($ 元 $/$ 辆 $)$	$400$	$280$

(1)、参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)、租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有

1

名老师，则共需租车辆；

(3)、学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

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23. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，以边 $A C$ 为直径作 $⊙ O$ ，与 $A B$ 边交于点 $D$ ，点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，连接 $D M$ ．

(1)、求证： $D M$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、点 $P$ 为直线 $B C$ 上任意一动点，连接 $A P$ 交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，连接 $C Q$ ．
$①$ 当 $t a n ∠ B A P = \frac{1}{3}$ 时，求 $B P$ 的长；

$②$ 求 $\frac{C Q}{A P}$ 的最大值．

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24. 探究函数

y = - 2 | x |^{2} + 4 | x |

的图象和性质，探究过程如下：

(1)、自变量

x

的取值范围是全体实数，

x

与

y

的几组对应值列表如下：

$x$

$\dots$

$- \frac{5}{2}$

$- 2$

$- \frac{3}{2}$

$- 1$

$- \frac{1}{2}$

$0$

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{5}{2}$

$\dots$

$y$

$\dots$

$- \frac{5}{2}$

$0$

$\frac{3}{2}$

$m$

$\frac{3}{2}$

$0$

$\frac{3}{2}$

$2$

$\frac{3}{2}$

$0$

$- \frac{5}{2}$

$\dots$

其中， $m =$ ▲ $.$ 根据如表数据，在图 $1$ 所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 $.$ 观察图象，写出该函数的一条性质；

(2)、点

F

是函数

y = - 2 | x |^{2} + 4 | x |

图象上的一动点，点

A (2 ， 0)

，点

B (- 2 ， 0)

，当

S_{△ F A B} = 3

时，请直接写出所有满足条件的点

F

的坐标；

(3)、在图

2

中，当

x

在一切实数范围内时，抛物线

y = - 2 x^{2} + 4 x

交

x

轴于

O

，

A

两点

(

点

O

在点

A

的左边

)

，点

P

是点

Q (1 ， 0)

关于抛物线顶点的对称点，不平行

y

轴的直线

l

分别交线段

O P

，

A P (

不含端点

)

于

M

，

N

两点

.

当直线

l

与抛物线只有一个公共点时，

P M

与

P N

的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

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