人教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题（四）

试卷更新日期：2023-09-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的的解为（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 2$ C、 $x = 0$ 或 $x = 2$ D、 $x = 0$ 或 $x = - 2$

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2. 已知 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(2.5 ， y_{2})$ ， $(5 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 6 x + m$ 上的点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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3. 把方程 $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ 转化成 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m$ ， $n$ 的值是（）

A、3，8 B、3，10 C、-3，3 D、-3，10

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4. 抛物线y＝ax²＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从表中可知，下列说法中正确的是（）

A、抛物线的对称轴是直线x＝0 B、抛物线与x轴的一个交点为（3，0） C、函数y＝ax²＋bx＋c的最大值为6 D、在对称轴右侧，y随x增大而增大

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5. 一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 15$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 15$ C、 $x (x + 1) = 15$ D、 $x (x - 1) = 15$

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6. 如图，在以下平面直角坐标系中， $△ A B C$ 绕某点旋转90°得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则旋转中心是点（） .

A、O B、M C、N D、无法确定

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $A$ 坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(5 ， 0)$ ，有下列结论：
① $a b c < 0$ ；② $2 a + b > 0$ ；③ $a + 4 c < 0$ ；④当 $0 \leq x \leq 4$ 时， $c \leq y \leq 16 a + 4 b + c$ .
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + 2$ ，当 $t < x < 5$ 时. $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $0 < t \leq 1$ B、 $t \geq 1$ C、 $1 \leq t < 5$ D、 $t \geq 5$

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二、填空题

9. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长为.

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10. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a - b^{2} = 2$ ，则代数式 $a^{2} - 3 b^{2} + a$ 的最小值为.

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ .矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定角度得到矩形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ .若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在边 $C D$ 上，则 $B^{'} C$ 的长为.

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12. 已知二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + m$ 的图象上有三点 $A (1.5 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- 1 ， y_{3})$ 则 $y_{1} 、 y_{2} 、 y_{3}$ 的大小关系为.

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13. 抛物线 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + c$ 过 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(0 ， y_{2})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是.

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14. 如果关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，那么k的取值范围是．

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三、解答题

15. 阅读下面的例题，
范例：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$ ，

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.
（2）当x＜0时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得： $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的根是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ ，请参照例题解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$

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16. 若二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图像经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， - 4)$ 两点，求b、c的值.

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17. 已知二次函数 $y = a (x - m) (x + m - 2) (a < 0)$ 与 $x$ 轴只有1个交点，且经过点 $(2 ， - 1)$ ，求二次函数的表达式．

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C A B = 7 5^{∘}$ ，在同一平面内，将 $Δ A B C$ 绕点A旋转到 $Δ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'}$ ∥ $A B$ ，求 $∠ B A B^{'}$ 的度数．

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19. 已知 $A (0 ， 3) ， B (2 ， 3)$ 是二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 图象上两点，求二次函数的表达式．

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20. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $40 °$ 得到 $△ A E D$ ．使点B的对应点E落在边 $B C$ 上，求 $∠ A E C$ 的度数．

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21. 某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台.若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + m - 2$ ．求证：不论 $m$ 为何实数，此二次函数的图象与 $x$ 轴都有两个不同交点．

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23. 某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件．市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件．将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？

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24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是△ABC内的一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BD、CE．求证：BD=CE．

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x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	0	4	6	6	4	…