人教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题（二）

试卷更新日期：2023-09-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 70 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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2. 用公式法解方程 $x^{2} - 2 x = 3$ 时，求根公式中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值分别是（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 3$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = - 3$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ D、 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 3$

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3. 将抛物线y=2x²+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）

A、y=2(x+3)²+4 B、y=2(x+3)² C、y=2(x－3)²+4 D、y=2(x－3)²

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4. 若方程 $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 1$ B、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m ＜ 1$ D、 $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$

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5. 将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到 $△ A D E$ ，且点B的对应点D恰好落在 $B C$ 边上，若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ C A E$ 的度数是（）

A、70° B、50° C、40° D、30°

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6. 已知点A（1，2）与点 $A^{'} （ a ， b ）$ 关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）

A、a＝1，b＝2 B、a＝-1，b＝2 C、a＝1，b＝-2 D、a＝-1，b＝-2

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7. 一元二次方程 $2 (x^{2} - 1) - 3 x = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（）

A、1，-1，-3 B、1，-3，-1 C、2，-3，-1 D、2，-3，-2

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8. 若 $x = 1$ ，是方程 $(k - 1) x^{2} + (k^{2} - 1) x - k + 1 = 0$ 的一个根，则 $k$ 值满足（）

A、 $k = \pm 1$ B、 $k = 1$ C、 $k = - 1$ D、 $k \neq \pm 1$

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二、填空题

9. 点 $P (3 ， 2)$ 关于原点O的对称点 $P^{'}$ 的坐标是.

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10. 已知 $m$ 、 $n$ 是方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两根，则 $m^{2} + m n - 2 m - n =$ .

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11. 如图所示的抛物线是二次函数y＝（m-2）x²-3x+m²+m-6的图象，那么m的值是.

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12. 线段 $O A$ 在平面直角坐标系内，A点坐标为 $(2 ， 5)$ ，线段 $O A$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $O A^{^{'}}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为.

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 2 k + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是 .

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14. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的两个解分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2} =$ .

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三、解答题

15. 把方程 ${(2 t + 3)}^{2} - 2 {(t - 5)}^{2} = - 41$ 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

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16. 如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面 $O A$ 宽 $4 m$ ，从O、A两处观测P处，仰角分别为 $α$ 、 $β$ ．且 $t a n α = \frac{1}{2}$ ， $t a n β = \frac{3}{2}$ ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．若水面上升 $1 m$ ，水面宽为多少？

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17. 将二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的解析式化为 $y = a (x + m)^{2} + k$ 的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

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18. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ ．求证：方程总有两个实数根．

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20. 体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处 $A$ 点距离地面的高度为 $2 m$ ，当球运行的水平距离为 $4 m$ 时，达到最大高度 $4 m$ 的 $B$ 处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，且它经过点 $A (3 ， 0)$ ，求该二次函数的解析式和顶点坐标．

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22. 关于x的一元二次方程2（x-1）²+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x²-3x-1＝0，试求b，c的值．

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23. 如图，已知 $∠ B A C = 30 °$ ，把 $△ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转，使得点 $B$ 与 $C A$ 的延长线上的点 $D$ 重合，求 $∠ A E C$ 的度数．

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24. 某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少?

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