吉林省长春市二道区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）

1. 下列漂亮的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 现有长度分别为10cm和20cm的两根小棒，王红要从下面四种长度的小棒中选取其中一根小棒拼成三角形，则她所选择的小棒是（）

A、5cm B、25cm C、35cm D、40cm

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 ⩾ 0 \\ 2 - x > 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 李明同学在学完用正多边形拼地板这节课之后，建议爸爸为他家房屋地面进行装修．爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，他告诉爸爸，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，你认为要使地面铺满，李明应建议爸爸选择另一种地砖的形状为（）

A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形

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5. 下列方程变形正确的是（）

A、由x+3＝y-7，得x+7＝y-11 B、由7y-6＝5-2y，得7y+6＝17-2y C、由7x＝-7x，得1＝-1 D、由4x＝3-2x，得4x-2x＝3

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6. 如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（）

A、15cm B、13cm C、12cm D、9cm

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7. 如图，将一副三角板重叠，使两个直角顶点重合，若两直角重叠形成的角∠BAE＝72°，则图中∠α的度数为（）

A、108° B、120° C、145° D、147°

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8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（）

A、7x+4＝9x-8 B、7x-4＝9x+8 C、 $\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$ D、 $\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$

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二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）

9. 已知关于x的方程2x+a-3＝0的解是x＝-1，则a的值为．

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10. 若将二元一次方程3x-y＝5写成用含x的代数式表示y的形式，则y＝．

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11. 若关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 y = a + 7 \\ 7 x + 5 y = 2 a - 5 \end{array}$ 的解x，y满足x+y＞1，则满足题意的最小整数a是．

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12. 如图，已知△ABC≌△DBC，∠ABC＝60°，∠ACD＝50°，那么∠D＝度．

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13. 如图，等边△ABC的每个内角都等于60°，点D是边AB上的点，连结CD，将△CDB沿CD折叠，点B的对应点为点B'，连结B′D．若∠BCB'＝90°，B′D交AC于点E，则∠AEB'＝度．

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14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点．若△ABC的面积为10cm² ，则△FBC的面积为cm² ．

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 解方程组 ${\begin{array}{l} x - 3 y = - 20 \\ 3 x + 7 y = 100 \end{array}$ ．

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16. 解方程： $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 3}{12} = 1$ ．

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17. 下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式： $3 - \frac{x - 7}{8} > \frac{2 x + 1}{2}$ ．
去分母，得24-（x-7）＞8x+4．

(1)、任务一：“去分母”这一步的变形依据是____（填“A”或“B”）．

A、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

(2)、任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．

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18. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多 $180 °$ ．

(1)、求这个多边形是几边形；

(2)、如果从这个多边形的一个顶点引出对角线，最多可以引条对角线．

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19. 如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求：

(1)、∠EBC的度数；（2）∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝    ▲         ．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD    ▲         ，
∴∠EBC＝    ▲        +35°＝    ▲        （等量代换）（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB（）
∴∠A＝∠EBC-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝    ▲        -90°＝    ▲        （等量代换）．
你还能用其他方法解决这一问题吗？

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20. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．△ABC的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．

(1)、在图①中作△ABC边AB上的高CD．

(2)、在图②中作△ABC边BC上的高AE．

(3)、在图③中作△ABC边AC上的高BF．

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21. 阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array} ， {\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 3 \end{array} ， {\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 0.5 \end{array}$ ……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得： $y = \frac{24 - 2 x}{5}$ ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = 7 \\ y = 2 \end{array}$ ．
问题：

(1)、若 $\frac{20}{x - 3}$ 为非负整数，则满足条件的整数x的值有个．

(2)、直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _

(3)、若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．

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22. 如图

(1)、【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：
如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．
刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．
解：结论：∠P＝_ ．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝ $\frac{1}{2}$ ∠ABC，∠PCB＝ $\frac{1}{2}$ ∠ACB．
∴∠P＝180°-∠PBC-∠PCB．
＝180°- $\frac{1}{2}$ （∠ABC+∠ACB）
＝180°- $\frac{1}{2}$ （180°-∠A）
＝_

(2)、【模型发展】如图②，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请你判断∠A和∠P间的数量关系并说明理由．

(3)、【解决问题】如图③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，点Q是△PBC的外角平分线BQ与CQ的交点．若∠A＝68°，则∠Q＝_度．

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23. 某学校七年级甲、乙两班为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．

(1)、求每个足球和篮球的价格．

(2)、若该校七年级丙班在同一商场购买了同种型号的足球3个、篮球1个，则该班共消费元．

(3)、若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不少于460元，则该校八年级至少购买了多少个足球？

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24. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线AB一BC运动，同时点Q从点C出发，以每秒1.5cm的速度沿射线CB方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、①当点P在AB上运动时，BP＝cm．（用含t的代数式表示）
②当点P在BC上运动时，BP＝cm．（用含t的代数式表示）

(2)、当点P运动到BC的中点时，求线段BQ的长．

(3)、当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．

(4)、当点P在BC上运动时，连结AP、AQ．直接写出△APQ的面积是3cm²时t的值．

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