吉林省长春市朝阳区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列不等式中，表示 $a$ 为正数的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $| a | > 0$ D、 $a \geq 0$

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2. 下列方程中，解为 $x = 1$ 的是（）

A、 $x + 1 = 0$ B、 $3 x = - 3$ C、 $x - 1 = 2$ D、 $2 x + 2 = 4$

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3. 下面四个图案均由北京 $2022$ 年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 全等三角形是（）

A、形状相同的两个三角形 B、周长相等的两个三角形 C、面积相等的两个三角形 D、完全重合的两个三角形

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5. 将方程 $\frac{x + 1}{2} + 1 = \frac{x}{3}$ 去分母后，结果正确的是（）

A、 $3 (x + 1) + 1 = 2 x$ B、 $3 (x + 3) + 1 = 2 x$ C、 $3 (x + 1) + 6 = 2 x$ D、 $3 (x + 3) + 6 = 2 x$

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6. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）

A、正方形和正八边形 B、正五边形和正六边形 C、正方形和正五边形 D、正三角形和正八边形

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7. 从 $n$ 边形的一个顶点引出的对角线把它最多划分为 $2023$ 个三角形，则 $n$ 的值为（）

A、 $2022$ B、 $2023$ C、 $2024$ D、 $2025$

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8. 儿童节过后，某超市将节日期间没有销售完的一款玩具礼盒进行打折销售，这款玩具礼盒每盒进价为 $160$ 元，标价为 $240$ 元 $.$ 若保证利润率是 $20 %$ ，则需要打（）

A、六折 B、七折 C、八折 D、九折

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 写出二元一次方程 $x + y = 5$ 的一组整数解．

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10. 如图，木工师傅做长方形门框时，会在门上斜着钉两条木板，使其不变形，这样做的数学原理是．

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11. 某正六边形的雪花图案如图所示 $.$ 这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角的大小至少为度 $.$

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12. $《$ 九章算术 $》$ 中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若 $5$ 只雀、 $6$ 只燕共重 $19$ 两； $3$ 只雀与 $4$ 只燕一样重．设每只雀的重量为 $x$ 两，每只燕的重量为 $y$ 两，根据题意，可列方程组为．

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13. 一个多边形的每个内角都是 $144 °$ ，则这个多边形是边形．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在边 $A C$ 上， $B D = 4$ ， $A C = D C = 5 .$ 若 $S_{△ A D E} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ ，则 $A E =$ ．

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三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解方程： $\frac{x - 1}{3} = 2 x$ ．

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16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 2 < 3 x \\ \frac{5 - x}{2} + 1 < 0 \end{array}$ ．

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17. 在 $△ A B C$ 中，

(1)、若 $∠ A = ∠ B - ∠ C$ ，则这个三角形是三角形 $. ($ 填“锐角”、“直角”或“钝角” $)$

(2)、将（1）中得到的结论加以证明．

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18. 已知一个 $n$ 边形的内角和是 $1260 °$ ，求这个多边形的边数．

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19. 已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $x^{a - 2} - 2 y^{a - b + 5} = 1$ 是二元一次方程，求 $a$ 、 $b$ 的值．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 17$ ， $B C = 8$ ， $A C = 2 m - 1$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、若 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $△ A B C$ 的周长为．

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21. 如图， $△ A B C$ 沿着直线 $l$ 向右平移 $4 c m$ 得到 $△ A' B' C'$ ．

(1)、若 $B C = 6 c m$ ，则 $B C' =$ $c m$ ．

(2)、若 $∠ A = 54 °$ ， $∠ A' C' B' = 70 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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22. 如图，在 $8 \times 8$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上 $.$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
⑴画出将 $△ A B C$ 向上平移 $4$ 格后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．
⑵画出将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 旋转 $180 °$ 后得到的 $△ A B_{2} C_{2}$ ．
⑶若点 $B_{3}$ 在格点上，将 $△ A B C$ 沿直线 $l$ 翻折，点 $B$ 恰好与点 $B_{3}$ 重合，先画出直线 $l$ ，再画出翻折后的 $△ A B_{3} C_{3}$ ．

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23. 盛夏来临，空调的销售进入旺季，某电器超市销售 $A$ 、 $B$ 两种型号的空调，销售 $3$ 台 $A$ 种型号空调和 $5$ 台 $B$ 种型号空调的收入为 $23500$ 元，销售 $4$ 台 $A$ 种型号空调和 $10$ 台 $B$ 种型号空调的收入为 $42000$ 元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种型号的空调的销售单价分别为多少元？

(2)、若每台 $A$ 种型号空调的进价为 $1800$ 元，每台 $B$ 种型号空调的进价为 $2400$ 元，该超市准备再采购这两种型号空调共 $50$ 台，全部销售完获利不少于 $38000$ 元，求至少需要采购多少台 $B$ 种型号空调？

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24. 如图， $△ A B C$ 是一张三角形的纸片，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点 $.$ 将 $∠ A$ 沿 $D E$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A'$ 的位置．

(1)、如图 $①$ ，当点 $A'$ 落在边 $A C$ 上时，若 $∠ A = 35 °$ ，求 $∠ B D A'$ 的大小．

(2)、如图 $②$ ，当点 $A'$ 落在 $△ A B C$ 内部时，若 $∠ A = 35 °$ ， $∠ C E A' = 34 °$ ，求 $∠ B D A'$ 的大小．

(3)、当点 $A'$ 落在 $△ A B C$ 外部时，
如图 $③$ ，若 $∠ A = 35 °$ ， $∠ C E A' = 18 °$ ，则 $∠ B D A' =$ $° .$

如图 $④$ ， $∠ B D A'$ 、 $∠ C E A'$ 和 $∠ A$ 的数量关系为．

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