吉林省长春108中2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、 $- (- 2)$ B、 $| - 2 |$ C、 $(- 2)^{0}$ D、 $(- 2)^{- 1}$

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2. 从一台对讲机发出无线电信号到 $1 k m$ 外的另一台对讲机接收到该信号，大约需要 $0.000003 s$ ，用科学记数法表示 $3 k m$ 外的一台对讲机接收到该信号大约需要（）

A、 $0.3 \times 1 0^{- 7} s$ B、 $9 \times 1 0^{- 6} s$ C、 $3 \times 1 0^{- 6} s$ D、 $0.9 \times 1 0^{- 5} s$

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3. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）

A、 $y = 6 x$ B、 $y = - 6 x$ C、 $y = \frac{6}{x}$ D、 $y = - \frac{6}{x}$

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4. 已知 $\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ ，下列变形正确的是（）

A、 $a b = 6$ B、 $2 a = 3 b$ C、 $a = \frac{3}{2 b}$ D、 $3 a = 2 b$

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5. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} x_{2} = 7$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 且交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ D = 58 °$ ，则 $∠ A E C$ 的度数是（）

A、 $61 °$ B、 $109 °$ C、 $112 °$ D、 $119 °$

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7. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $O E$ ，若 $O B = 4$ ， $S_{菱形 A B C D} = 16$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ ，的图象上，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $M .$ 且 $M B = 2 A M$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 6$ C、 $2$ D、 $6$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 使 $\frac{1}{1 - x}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是．

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10. 为了增强青少年的防毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛．某位选手的演讲内容，语言表达，演讲技巧这三项得分别为为 $92$ 分， $85$ 分， $90$ 分，若依次按 $40 %$ ， $40 %$ ， $20 %$ 的比例确定成绩，则该选手的比赛成绩是分．

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11. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线 $A C$ 分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C .$ 直线 $D F$ 分别交 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则 $D E$ 的长为．

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12. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - a = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = a x + b$ 和直线 $y = k x$ 交于点 $P (1 ， 2)$ ，若关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = k x \\ y = a x + b \end{array}$ 的解为 $x$ 、 $y$ ，则 $x + y =$ ．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 1) .$ 若直线 $y = x + b$ 与正方形有两个公共点，则 $b$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.

(1)、计算： $\sqrt{72} \div \sqrt{6}$ ．

(2)、化简： $\frac{x - 3}{x^{2} + 3 x} - \frac{2}{x + 3}$ ．

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16. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $\frac{3}{x - 1} - \frac{x + 2}{x (x - 1)} = 0$ ；

(2)、 $(2 x - 1)^{2} = 4$ ；

(3)、 $x^{2} - 10 x + 8 = 0$ ．

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17. 哈市某展览馆计划将长 $60$ 米，宽 $40$ 米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个 $1500$ 平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道 $.$ 求通道的宽为多少米？

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 平行形，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在对角线 $A C$ 上， $∠ E A C = ∠ C A D$ ， $∠ A F E = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ A E F$ ∽ $△ A C D$ ；

(2)、若 $A D = 5$ ， $A E = 3$ ， $A C = 4$ ，直接写出 $A F$ 的长．

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19. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点在格点上 $.$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图 $①$ 中画线段 $E F$ ，点 $E$ 在 $A C$ 边上，点 $F$ 在 $A B$ 边上，且 $E F = \frac{1}{2} B C$ ．

(2)、在图 $②$ 中的线段 $B C$ 上找一点 $O$ ，使 $B O = C O$ ．

(3)、在图 $③$ 中画一条线段 $M N$ ，将线段 $A B$ 分为 $2$ ： $5$ 的两部分 $. ($ 要求：点 $M$ 、 $N$ 均在格点上 $)$

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20. 某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取 $20$ 名学生进行问卷测试 $($ 满分： $10$ 分，测试成绩均为整数 $)$ ，并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

八年级抽取的 $20$ 名学生的测试成绩分别是： $5$ ， $10$ ， $8$ ， $9$ ， $9$ ， $8$ ， $9$ ， $8$ ， $8$ ， $6$ ， $8$ ， $8$ ， $10$ ， $9$ ， $8$ ， $8$ ， $6$ ， $5$ ， $10$ ， $8$ ．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：

年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
          $8$
          $8$
          $b$
          $2.1$
九年级
     $8$
     $a$
     $c$
     $2.7$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出上表中 $a =$   ， $b =$   ， $c =$   ；

(2)、根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由 $($ 写出一条理由即可 $)$ ；

(3)、该校八、九年级共有学生 $2000$ 人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在 $9$ 分及以上的学生有多少人？

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21. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽 $.$ 设轮船触礁后船舱内积水量为 $y (t)$ ，时间为 $x (m i n)$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

(1)、修船过程中排水速度为 $t / m i n$ ， $a$ 的值为．

(2)、求修船完工后 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式 $.$ 并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、当船内积水量是船内最高积水量的 $\frac{3}{4}$ 时，直接写出 $x$ 的值．

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22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第

103 - 104

页的部分内容．

如图 $1$ ，画 $R t △ A B C$ 并画出斜边 $A B$ 上的中线 $C D$ ，

量一量，看看 $C D$ 与 $A B$ 有什么关系．

相信你与你的同伴一定会发现， $C D$ 恰好是 $A B$ 的一半，

下面让我们用演绎推理证明这一猜想．

已知：如图 $2$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，

求证： $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

(1)、【定理证明】小明根据教材图

2

的提示，证明过程为：

延长 $C D$ 至点 $E$ ，使 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 、 $A E$ ， $\dots$

结合图 $①$ 帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．

(2)、【定理应用】如图

②

，在

△ A B C

中，

A D ⊥ B C

，垂足为点

D (

点

D

在

B C

边上

)

，

C E

是

A B

边的中线，

D G

垂直平分

C E

，则

∠ B

与

∠ B C E

的关系为．

(3)、【拓展提高】如图

③

，在

△ A B C

中，

∠ B = 30 °

，

∠ A D C = 45 °

，

A D

恰好是

B C

边上中线，则（3）

∠ C

的度数为

. (

在直角三角形中，

30 °

角所对直角边等于斜边的一半

)

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23. 直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E．

(1)、请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；

(2)、点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标；

(3)、点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于任意图形 $G$ 及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，给出如下定义：将图形 $G$ 先沿直线 $l_{1}$ 翻折得到图形 $G_{1}$ ，再将图形 $G_{1}$ 沿直线 $l_{2}$ 翻折得到图形 $G_{2}$ ，则称图形 $G_{2}$ 是图形 $G$ 的 $[l_{1} ， l_{2}]$ 伴随图形．
例如：点 $P (2 ， 1)$ 的 $[x$ 轴， $y$ 轴 $]$ 轴伴随图形是点 $P' (- 2 ， - 1)$ ．

(1)、点 $Q (- 5 ， - 3)$ 的 $[x$ 轴， $y$ 轴 $]$ 伴随图形点 $Q'$ 的坐标为；

(2)、若直线 $n$ 的解析式为： $x = - 1$ ，则点 $Q (- 5 ， - 3)$ 的 $[y$ 轴， $n]$ 伴随图形点 $Q'$ 的坐标为；

(3)、已知 $A (t ， 2)$ ， $B (t - 3 ， 2)$ ， $C (t ， 6)$ ，直线 $m$ 经过点 $(1 ， 1)$ ．
      $①$ 当 $t = - 1$ ，且直线 $m$ 与 $y$ 轴平行时，点 $A$ 的 $[x$ 轴， $m]$ 伴随图形点 $A'$ 的坐标为    ▲        ；

      $②$ 当 $t = - 1$ ，点 $B$ 的 $[x$ 轴， $m]$ 伴随图形点 $B'$ 的坐标为 $(- 2 ， - 4)$ ，求直线 $m$ 的解析式    ▲        ；

      $③$ 当直线 $m$ 经过原点时， $△ A B C$ 的 $[x$ 轴， $m]$ 伴随图形上只存在两个与 $x$ 轴的距离为 $1$ 的点，直接写出 $t$ 的取值范围．

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年级	平均数	众数	中位数	方差
八年级	$8$	$8$	$b$	$2.1$
九年级	$8$	$a$	$c$	$2.7$