云南省昆明市官渡区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 函数 $y = 2 x + 1$ 的图象过点（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $(\sqrt{6})^{2} = 6$ C、 $\sqrt{(- \frac{2}{5})^{2}} = - \frac{2}{5}$ D、 $\sqrt{(- 9) \times (- 16)} = \sqrt{- 9} \times \sqrt{- 16}$

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4. 图书馆对上月借阅中外数学类书籍的情况进行了调查，统计数据如下表：

书名	$《$ 几何原本 $》$	$《$ 九章算术 $》$	$《$ 数学家的眼光 $》$	$《$ 怎样解题 $》$
借阅量 $/$ 人次	$25$	$35$	$60$	$20$

依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该图书馆决定多购进上表四种书中的一种，你认为最可能多购进的是（）

A、

《

几何原本

》

B、

《

九章算术

》

C、

《

数学家的眼光

》

D、

《

怎样解题

》

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5. 原命题“平行四边形的两组对角分别相等”和它的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，下列说法正确的是（）

A、原命题和逆命题都正确 B、原命题和逆命题都错误 C、原命题错误，逆命题正确 D、原命题正确，逆命题错误

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6. 如图，要使▱ $A B C D$ 为矩形，则可添加的条件是（）

A、 $B O = D O$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = B C$ D、 $A C = B D$

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7. 如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（）

A、3 B、4 C、 $\frac{60}{13}$ D、4.8

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $D$ ， $E$ 两点，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，到 $C F$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $5.5$ D、 $6$

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9. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点， $M$ ， $N$ 分别为 $B E$ ， $C E$ 的中点，则 $M N$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、不确定

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10. 如图，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与 $y = x + 2$ 的图象相交于点 $M (m ， 4)$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = x + 2 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$

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11. 明朝数学家程大位在他的著作 $《$ 算法统宗 $》$ 中写了一首计算秋千绳索长度的词 $《$ 西江月 $》$ ：“平地秋千未起，踏板一尺离地 $.$ 送行二步恰竿齐，五尺板高离地 $\dots \dots$ ”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺 $(A C = 1$ 尺 $)$ ，将它往前推进两步 $(B E = 10$ 尺，两步 $= 10$ 尺 $)$ ，此时踏板升高离地五尺 $(B D = 5$ 尺 $)$ ，若绳索始终拉直，则秋千绳索 $O B$ 的长是（）

A、 $12$ 尺 B、 $13.5$ 尺 C、 $14.5$ 尺 D、 $15.5$ 尺

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12. 小渡同学匀速地向一个容器内注水，直至注满容器 $.$ 在注水的过程中，通过观察，小渡画出水面高度 $h$ 随时间 $t$ 变化的草图，如图，则这个容器的形状可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13. 二次根式 $\sqrt{x - 4}$ 中 $x$ 的取值范围是．

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14. 走路不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等 $.$ 小云、小南两名同学将同一星期内日步数的数据绘制成折线统计图，将步数方差分别记为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，从折线统计图可知， $s_{1}^{2}$ $s_{2}^{2} ($ 填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“=” $)$ ．

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15. 在平面直角坐标系中，平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ 、 $A (5 ， 0)$ 、 $B (2 ， 3)$ 则顶点 $C$ 的坐标是．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $M$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $O M$ ，过点 $O$ 作 $O N ⊥ O M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，若四边形 $M O N D$ 的面积是 $3$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} + \sqrt{10} \times \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{3} + 1)^{2}$ ．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $D A$ 、 $B C$ 延长线上，且 $A E = C F .$ 求证：四边形 $E B F D$ 为平行四边形．

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19. “双碳”背景下，新能源汽车在主流的大众消费群体中越来越受欢迎

.

在会展中心举行一场新能源汽车车展活动中，共有三十几种不同品牌的新能源汽车参展，根据不同续航程将这些车分成六组，统计结果如下：

分组	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$
$($ 单位：公里 $)$	$x \leq 400$	$400 < x \leq 500$	$500 < x \leq 600$	$600 < x \leq 700$	$700 < x \leq 800$	$x > 800$
数量 $($ 单位：辆 $)$	$40$	$120$	$132$	$95$	$68$	$45$

(1)、在参展的新能源汽车中，续航里程在组的车最多；续航里程的中位数落在组；

(2)、小渡家看中了售价一样的甲、乙两款汽车，根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了打分

(

百分制

)

，如下表：

	续航里程 $($ 分 $)$	百公里加速 $($ 分 $)$	智能化水平 $($ 分 $)$
甲车	$82$	$90$	$100$
乙车	$80$	$100$	$90$

小渡将续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能的得分按 $5$ ： $2$ ： $3$ 的比例确定甲、乙两款汽车的最终得分，并以此为依据做出了选择，你知道小渡的选择是什么吗？请写出计算过程进行说明．

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20. 如图 $1$ ，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上 $.$ 请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了 $△ A B C$ 是直角三角形 $.$ 请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．

甲同学说：“学习了 $《$ 勾股定理 $》$ ，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状 $.$ ”

解： $△ A B C$ 是直角三角形，理由如下：

在网格中由勾股定理可以算出： $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = \sqrt{10}$ ，

$∵ A B^{2} + A C^{2} =$     ▲         ， $B C^{2} =$     ▲         ，

      $∴$     ▲         ．

      $∴$     ▲         $= 90 °$ ．

      $∴ △ A B C$ 是角三角形．

乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明 $△ A B C$ 是直角三角形 $.$ ”

解： $△ A B C$ 是直角三角形，理由如下：

如图 $2$ ，由网格可知： $C D = A E = 2$ ， $∠ C D A = ∠ A E B = 90 °$ ， $A B = A C = \sqrt{5}$ ，

在 $R t △ A D C$ 和 $R t △ B E A$ 中，

      $∵ {\begin{array}{l} A C = B A = \sqrt{5} \\ C D = A E = 2 \end{array}$

      $∴ R t △ A D C$ ≌ $R t △ B E A ($    $) .$

      $∴ ∠ C A D =$     ▲         ．

又 $∵$ 在 $R t △ A E B$ 中， $∠ A B E + ∠ B A E = 90 °$ ，

      $∴ ∠ C A D +$     ▲         $= 90 °$ ，

      $∴ ∠ C A B = 180 ° - (∠ C A D + ∠ B A E) = 90 °$ ，

      $∴ △ A B C$ 是直角三角形．

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21. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 3)$ ， $B (4 ， - 2)$ ．

(1)、结合函数图象，直接写出 $k x + b > - 2$ 的解集；

(2)、求一次函数的解析式；

(3)、求 $△ A O B$ 面积．

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22. 2023年 $5$ 月 $30$ 日，云南人桂海潮乘坐神舟 $16$ 号飞船，成功遨游太空，圆了“飞天”梦想 $!$ 云官中学为了给学生们搭建一个航天梦，计划购买火箭模型和空间站模型共 $80$ 个 $($ 两种模型均需购买 $)$ ，要求购买火箭模型的个数不多于空间站模型个数的 $3$ 倍 $.$ 通过市场调研，已知火箭模型每个 $45$ 元，空间站模型每个 $60$ 元 $.$ 设购买火箭模型 $x$ 个，购买总费用为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、请你用函数的相关知识说明如何采购能使总费用最低？并求出最低费用．

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23. 【学习材料】

求直线 $y = - 6 x$ 向右平移 $5$ 个单位长度后的解析式．

第一步，在直线 $y = - 6 x$ 上任意取两点 $A (0 ， 0)$ 和 $B (1 ， - 6)$ ；

第二步，将点 $A (0 ， 0)$ 和 $B (1 ， - 6)$ 向右平移 $5$ 个单位长度得到点 $C (5 ， 0)$ 和 $D (6 ， - 6)$ ，则直线 $C D$ 就是直线 $A B$ 向右平移 $5$ 个单位长度后得到的直线；

第三步，设直线 $C D$ 的解析式为： $y = k x + b (k \neq 0)$ ，将 $C (5 ， 0)$ 和 $D (6 ， - 6)$ 代入得到： ${\begin{array}{l} 5 k + b = 0 \\ 6 k + b = - 6 \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} k = - 6 \\ b = 30 \end{array}$ ，所以直线 $C D$ 的解析式为： $y = - 6 x + 30$ ．

(1)、【类比思考】

$①$ 若将直线 $y = - 6 x$ 向左平移 $5$ 个单位长度，则平移后的直线解析式为；

$②$ 若先将直线 $y = - 6 x$ 向右平移 $4$ 个单位长度，再向下平移 $6$ 个单位长度，得到直线 $l$ ，则直线 $l$ 的解析式为．

(2)、【拓展应用】

$①$ 已知一次函数的图象与直线 $y = - 6 x + 18$ 关于 $x$ 轴对称，求一次函数的解析式；

$②$ 若一次函数 $y = - 6 x + 18$ 的图象绕点 $(3 ， 0)$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到直线 $m$ ，则直线 $m$ 的解析式为 ▲ ．

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24. 如图

如图 $1$ ， $A E / / B F$ ， $A B / / C D$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、如图 $2$ ， $C D = 5$ ， $A C = 6$ ， $D M ⊥ B F$ 交 $B F$ 于点 $M$ ，已知点 $P$ 是 $B D$ 上一动点，连接 $P C$ ， $P M .$ 求 $△ P C M$ 周长的最小值．

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