云南省昆明市西山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下面计算正确的是（）

A、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{4} = \pm 2$

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3. 一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列条件中，能够判断 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ B = ∠ C$ B、 $A B$ ： $B C$ ： $A C = 1$ ： $2$ ： $3$ C、 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $A C = 10$ D、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 3$ ： $4$ ： $5$

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5. 少年强，则国强，为增强青少年科技创新能力，我市举行了“青少年机器人大赛”，经过一轮初赛后，共有 $13$ 人进入决赛 $($ 他们决赛的成绩各不相同 $)$ ，本次活动将按照决赛分数评出一等奖 $1$ 名，二等奖 $2$ 名，三等奖 $3$ 名，小丽进入了决赛，要判断自己能否获奖，她应该关注决赛分数的（）

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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6. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（）

A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形

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7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“十九届六中全会”为主题的演讲比赛的相关数据：根据表中数据，从平均成绩优秀且成绩稳定的角度，选择甲同学参加市级比赛，则可以判断 $a$ 、 $b$ 的值可能是（）

甲
乙
丙
丁
平均数 $($ 分 $)$
          $a$
          $80$
          $90$
          $80$
方差
          $b$
          $2.2$
          $5.4$
          $2.4$

A、 $95$ ， $6$ B、 $95$ ， $2$ C、 $85$ ， $2$ D、 $85$ ， $6$

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8. 如图，直线 $y = k x + b$ 和直线 $y = m x + n$ 相交于点 $(3 ， - 2)$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$

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9. 取一张边长为 $2$ 的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段 $D E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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10. 数学老师要求学生用一张长方形的纸片

A B C D

折出一个

45 °

的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）

甲：如图 $1$ ，将纸片沿折痕 $A E$ 折

叠，使点 $B$ 落在 $A D$ 上的点 $B'$ 处，

$∠ E A D$ 即为所求，

乙：如图 $2$ ，将纸片沿折痕 $A E$ ，

$A F$ 折叠，使 $B$ ， $D$ 两点分别落在

点 $B'$ ， $D'$ 处， $A B'$ 与 $A D'$ 在同一

直线上， $∠ E A F$ 即为所求，

A、只有甲的折法正确 B、甲和乙的折法都正确 C、只有乙的折法正确 D、甲和乙的折法都不正确

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $A F ⊥ B F$ ，若 $A B = 7$ ， $A C = 12$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $1.5$ C、 $2$ D、 $2.5$

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12. 如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第 $1$ 个图形有 $3$ 个菱形，第 $2$ 个图形有 $7$ 个菱形，第 $3$ 个图形有 $13$ 个菱形，按此规律排列下去，第 $9$ 个图形的菱形个数为（）

A、 $73$ B、 $81$ C、 $91$ D、 $109$

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二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13. 在“永远跟党走，奋斗新征程“西山区青少年爱国主义教育演讲比赛活动中，已知某位选手的演讲内容、语言表达、形象风度这三项得分分别为 $90$ 分， $80$ 分， $80$ 分，若依次按照 $40 %$ ， $20 %$ ， $40 %$ 的百分比确定成绩，则该选手的成绩是分 $.$

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14. 二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 有意义的条件是．

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15. 已知点 $A (- 5 ， y_{1})$ 、 $B (3 ， y_{2})$ 都在一次函数 $y = - 8 x + 7$ 的图象上，比较大小： $y_{1}$ $y_{2}$ ．

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16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{(- 2)^{2}} + \sqrt[3]{27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{3}{4}}$ ．

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18. 阅读：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点 $A (- 3 ， 5)$ ， $B (1 ， 2)$ ，求 $A$ ， $B$ 两点间的距离 $.$ 过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线，相交于点 $C$ ，连接 $A B . ∴ A C = | 5 - 2 | = 3$ ， $B C = | 1 - (- 3) | = 4$ ，在 $R t △ A B C$ 中，由勾股定理得： $A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ ，若 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ ，从而得到两点间的距离公式 $M N = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} .$ 解决下列问题：

(1)、若 $P (2 ， 4)$ ， $Q (- 3 ， - 8)$ ，则 $P Q$ 两点间的距离 $P Q =$ ；

(2)、如图 $2$ ：点 $D (3 ， 3)$ ，点 $E (5 ， - 1)$ ，则 $D E =$ ，若 $O H ⊥ D E$ ，则 $O H =$ ．

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19. 为了解西山区八年级学生数学学科期末质量监测情况，某数学兴趣小组进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整：

收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的 $20$ 名学生的数学成绩进行分析．

甲： $91 89 77 86 71 31 97 93 74 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91$

乙： $84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88$

整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据．

学校	$30 \leq x \leq 39$	$40 \leq x \leq 49$	$50 \leq x \leq 59$	$60 \leq x \leq 69$	$70 \leq x \leq 79$	$80 \leq x \leq 89$	$90 \leq x \leq 100$
甲	$1$	$1$	$0$	$0$	$3$	$7$	$8$
乙	$0$	$0$	$1$	$4$	$2$	$a$	$5$

分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：

学校统计量	平均数	中位数	众数	方差
甲	$81.95$	$b$	$91$	$266.65$
乙	$81.95$	$86$	$88$	$115.25$

根据以上信息回答下列问题：

(1)、填表：

a

的值是；

b

的值是；

(2)、得出结论：

$①$ 若甲学校有 $600$ 名八年级学生，请估计这次考试成绩在 $80$ 分及以上的人数；

$②$ 请推断哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由．

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20. 生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 $x$ 时所需费用为 $y$ 元，选择这两种卡消费时， $y$ 与 $x$ 的函数关系如图所示，解答下列问题：

(1)、分别求出选择这两种卡消费时， $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、当入园次数在 $6 ～ 21$ 次 $($ 含 $6$ 和 $21)$ ，选择哪种卡消费方式比较合算？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $C D$ 上， $C F = A E$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是矩形；

(2)、已知 $∠ D A B = 60 °$ ， $A F$ 是 $∠ D A B$ 的平分线，若 $A D = 3$ ，求 $D C$ 的长度．

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22. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 3$ 与过点 $A (3 ， 0)$ 的直线 $l_{2}$ 交于点 $C (1 ， m)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、点 $M$ 在直线 $l_{1}$ 上， $M N / / y$ 轴，交直线 $l_{2}$ 于点 $N$ ，若 $M N = A B$ ，求点 $M$ 的坐标．

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23. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

(1)、求两种玩偶的进货价分别是多少？

(2)、第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

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24. 如图 $1$ ，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $M$ 从点 $D$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度向点 $A$ 运动，同时，点 $N$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $C$ 运动 $.$ 其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动 $.$ 过点 $N$ 作 $N P ⊥ A D$ 于点 $P$ ，连接 $A C$ 交 $N P$ 于点 $Q$ ，连接 $M Q .$ 设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、 $A M =$ ， $A P =$ $. ($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(2)、当四边形 $A N C P$ 为平行四边形时，求 $t$ 的值．

(3)、如图 $2$ ，将 $△ A Q M$ 沿 $A D$ 翻折，得 $△ A K M$ ，是否存在某时刻 $t$ ，使四边形 $A Q M K$ 为菱形，若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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	甲	乙	丙	丁
平均数 $($ 分 $)$	$a$	$80$	$90$	$80$
方差	$b$	$2.2$	$5.4$	$2.4$