云南省曲靖市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$ B、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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3. 如图是嘉淇不完整的推理过程．

A、 $∠ B + ∠ C = 180 °$ B、 $A B = C D$ C、 $∠ A = ∠ B$ D、 $A D = B C$

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4. 化简 $\sqrt{(- 2)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $- 2$ B、 $\pm 2$ C、 $2$ D、 $4$

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5. 已知函数 $y = k x$ （ $k \neq 0$ ， $k$ 为常数）的函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）

A、 $(0.5 ， 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， - 2)$

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6. 有一列数按一定规律排列： $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $- \frac{\sqrt{5}}{8}$ ， $\frac{\sqrt{7}}{16}$ ， $- \frac{3}{32}$ ， $\dots$ ，则第 $n$ 个数是（）

A、 $(- 1)^{n + 1} \cdot \frac{\sqrt{2 n + 1}}{2 n}$ B、 $(- 1)^{n + 1} \cdot \frac{\sqrt{2 n}}{2^{n + 1}}$ C、 $(- 1)^{n} \cdot \frac{\sqrt{2 n - 1}}{2^{n}}$ D、 $(- 1)^{n} \cdot \frac{\sqrt{3 n - 2}}{n^{2}}$

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7. 在平面直角坐标系中，将直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 沿 $y$ 轴向下平移 $6$ 个单位后，得到一条新的直线，该直线与 $x$ 轴的交点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(6 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(0 ， - 3)$

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8. 如图，以原点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧与数轴交于点 $A$ ，若点 $A$ 表示的数为 $x$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $2 - \sqrt{5}$

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9. 如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若 $∠ A C B = 3 0^{°}$ ， $A B = 10$ ，则MN的长为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、5 C、 $5 \sqrt{3}$ D、4

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10. 如图，已知函数 $y = x + 1$ 和 $y = a x - 1$ 的图象交于点 $P (n ， - 2)$ ，则根据图象可得不等式 $x + 1 > a x - 1$ 的解集是（）

A、 $x > - \frac{3}{2}$ B、 $x < - 3$ C、 $x < - \frac{3}{2}$ D、 $x > - 3$

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11. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $O E .$ 若 $O B = 6$ ，菱形 $A B C D$ 的面积为 $54$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $4.5$ C、 $5$ D、 $5.5$

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12. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 $a$ ，较短直角边长为 $b$ ，若 $(a + b)^{2} = 196$ ，大正方形的面积为 $100$ ，则小正方形的面积为（）

A、 $4$ B、 $9$ C、 $96$ D、 $6$

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二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13. 若式子 $\frac{2}{\sqrt{x - 5}}$ 有意义，则x的取值范围是.

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14. 在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队演员的人数相同，身高的平均数均为 $166 c m$ ，且方差分别为 $S_{甲}^{2} = 1.5$ ， $S_{乙}^{2} = 2.5 . S_{丙}^{2} = 2.9$ ， $S_{丁}^{2} = 3.3$ ，则这四队演员的身高最整齐的是队。

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 5 c m$ ， $A C = 13 c m$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，得折痕 $D E$ ，则 $△ A B E$ 的周长等于 $c m$ ．

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16. 已知直线 $y = k x + 4$ ，该直线与两坐标轴围成的三角形面积为 $4$ ，那么 $k$ 的值是．

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三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{12} + \sqrt{6} \div \sqrt{3} - \sqrt{8} + | 1 - \sqrt{2} | + (2023 - π)^{0}$ ．

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18. 先化简，再求值 $(1 + \frac{4}{x - 3}) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x - 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $P$ 是 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P M ⊥ A D$ ， $P N ⊥ C D$ ，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ．

(1)、求证： $∠ A D B = ∠ C D B$ ；

(2)、若 $∠ A D C =$ ▲ $°$ 时，四边形 $M P N D$ 是正方形，并说明理由．

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20. 光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了 $50$ 名学生的成绩 $($ 分数 $)$ 进行整理分析，已知成绩 $($ 分数 $) x$ 均为整数，且分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个等级，分别是：
      $A$ ： $90 \leq x \leq 100$ ， $B$ ： $80 \leq x < 90$ ， $C$ ： $70 \leq x < 80$ ， $D$ ： $60 \leq x < 70$ ， $E$ ： $0 \leq x < 60 .$ 并给出了部分信息：
$①$ 八年级 $B$ 等级中由低到高的 $10$ 个分数为： $80$ ， $80$ ， $81$ ， $83$ ， $83$ ， $83$ ， $84$ ， $84$ ， $85$ ， $85$ ；
      $②$ 两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：

      $③$ 两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：


平均数
中位数
众数
八年级
          $84$
          $a$
          $76$
九年级
          $84$
          $81$
          $75$

(1)、直接写出 $a$ ， $m$ 的值；

(2)、若分数不低于 $80$ 分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生 $1800$ 人，九年级有学生 $1900$ 人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线 $D E$ 分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，且 $B D^{2} - D A^{2} = A C^{2}$ ．

(1)、求证： $∠ A = 90 °$ ；

(2)、若 $B C^{2} = 56$ ， $A D$ ： $B D = 3$ ： $4$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 某商场销售甲、乙两种品牌的书包，已知该商场销售 $10$ 个甲品牌书包和 $20$ 个乙品牌书包的利润为 $400$ 元；销售 $20$ 个甲品牌书包和 $10$ 个乙品牌书包的利润为 $350$ 元．

(1)、求每个甲品牌书包和每个乙品牌书包的销售利润；

(2)、该商场购进甲、乙两种品牌的书包共 $200$ 个，其中乙品牌书包的进货量不超过甲品牌书包数量的 $2$ 倍，设购进甲品牌书包 $x$ 个，本次购进的 $200$ 个书包全部出售的销售总利润为 $y$ 元．
$①$ 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

$②$ 该商场如何采购，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ，点 $F$ 是 $B C$ 上一点，若将 $△ D C F$ 沿 $D F$ 折叠，点 $C$ 恰好与 $A B$ 上的点 $E$ 重合，过点 $E$ 作 $E G / / B C$ 交 $D F$ 于点 $G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证：四边形 $E F C G$ 是菱形；

(2)、当 $∠ A = ∠ B$ 时，求点 $B$ 到直线 $E F$ 的距离．

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24. 如图，平面直角坐标系中，直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A (10 ， 0)$ 、 $B (0 ， 5)$ 两点，点 $F$ 是线段 $A B$ 上的一个动点 $($ 不与 $A$ ， $B$ 重合 $)$ ，连接 $O F$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、当 $O F$ 平分 $△ A O B$ 的面积时，第一象限内是否存在一点 $P$ ，使 $△ P A F$ 是以 $A F$ 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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	平均数	中位数	众数
八年级	$84$	$a$	$76$
九年级	$84$	$81$	$75$