北京市房山区良乡二中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2023-09-19 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 正五边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 7$ B、 $(x + 2)^{2} = 7$ C、 $(x - 2)^{2} = 1$ D、 $(x + 2)^{2} = 1$

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4. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )

A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等

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5. 某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降。原来每件产品的成本是 $1600$ 元，两个月后降至 $900$ 元，若产品成本的月平均降低率为 $x$ ，下面所列方程正确的是（）

A、 $1600 (1 - x)^{2} = 900$ B、 $1600 (1 - 2 x) = 900$ C、 $1600 (1 - x^{2}) = 900$ D、 $1600 (1 - x) = 900$

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6. 已知一次函数 $y = - x + 2$ ，那么下列结论正确的是（）

A、y 的值随 x 的值增大而增大 B、图象经过第一、二、三象限 C、图象必经过点 $(0 ， 2)$ D、当 $x < 2$ 时，y<0

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7. 方差的统计含义：表示一组数据的每个数（）

A、偏离它的众数的差的平均值 B、偏离它的平均数的差的绝对值的平均值
C、偏离它的中位数的差的平方数的平均值 D、偏离它的平均数的差的平方数的平均值

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8. 下面的四个问题中都有两个变量：变量 $y$ 与变量 $x$ 之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（）

A、汽车从 $A$ 地匀速行驶到 $B$ 地，汽车的行驶路程 $y$ 与行驶时间 $x$ B、用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长 $y$ 与另一条边长 $x$ C、将水匀速注入水箱中，水箱中的水量 $y$ 与注水时间下x D、在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度 $y$ 与所挂重物质量 $x$

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 3 ， 4)$ 和点 $B (3 ， 4)$ 关于轴对称．

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10. 函数 $y = \sqrt{x - 6}$ 的定义域是．

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11. 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形 $A B C$ 空地上围一个四边形花坛 $B C F E$ ，已知点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，量得 $B C = 16$ 米，则 $E F$ 的长是米 $.$

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + a = 0$ 有一个根为 $- 1$ ，则 $a$ 的值为．

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13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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14. $《$ 九章算术 $》$ 是中国传统数学最重要的著作，在 $《$ 九章算术 $》$ 中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺 $.$ 问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子 $3$ 尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有 $x$ 尺的竹子，则可列方程为 $. ($ 注： $1$ 丈 $= 10$ 尺 $)$

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15. 下表记录了四名运动员 $100$ 米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会 $100$ 米短跑项目，应选择．

甲乙丙丁

平均数(秒) 12.2 12.1 12.2 12.1

方差 6.3 5.2 5.8 6.1

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16. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ ， $M$ 为▱ $A B C D$ 同一边上任意两个不重合的动点 $($ 不与端点重合 $)$ ， $E O$ ， $M O$ 的延长线分别与▱ $A B C D$ 的另一边交于点 $F$ ， $N$ ，连接 $E N$ ， $M F$ ，
下面四个推断：
$① E F = M N$ ；
$② E N / / M F$ ；
$③$ 若▱ $A B C D$ 是菱形，则至少存在一个四边形 $E N F M$ 是菱形；
$④$ 对于任意的▱ $A B C D$ ，存在无数个四边形 $E N F M$ 是矩形；
其中，所有正确的有 $. ($ 填写序号 $)$

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三、解答题（本大题共11小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 27 = 0$ ．

(2)、 $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ．

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18. 一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(0 ， 2)$ 和 $(2 ， - 2)$ ．

(1)、求这个一次函数的表达式；

(2)、画出该函数的图象；

(3)、结合图象回答：当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围是．

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19. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的平行四边形”．

小怀的作法如下：
$①$ 分别连接线段 $A B$ ， $B C$ ；
$②$ 以点 $A$ 为圆心， $B C$ 长为半径，在 $B C$ 上方作弧，以点 $C$ 为圆心， $A B$ 长为半径，在 $A B$ 右侧作弧，两弧交于点 $D$ ；
$③$ 分别连接线段 $C D$ ， $D A .$ 所以四边形 $A B C D$ 就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形 $($ 保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵ A B =$ ▲ ， $B C =$ ▲ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形（）（填推理的依据）．

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20. 近日，某高校举办了一次以“中国梦青春梦”为主题的诗歌朗诵比赛，共有

800

名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下

(

每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分

)

：
样本成绩频数分布表

分组 $/$ 分	频数	频率
$50 ～ 60$	$2$	$a$
$60 ～ 70$	$4$	$0.10$
$70 ～ 80$	$8$	$0.20$
$80 ～ 90$	$b$	$0.35$
$90 ～ 100$	$12$	$c$
合计	$d$	$1.00$

样本成绩频数分布直方图

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、a= ， b= ， c=；

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、若成绩在

80

分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的

800

名学生中成绩优秀的有多少名？

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21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 $1 .$ 按要求画四边形，使它以 $A C$ 为对角线，且四个顶点均落在格点上：

(1)、在图1中画一个平行四边形 $A B C D$ ；

(2)、在图2中画一个矩形 $A B C D$ ．

(3)、在图3中画一个正方形 $A B C D$ ．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 1) x + k = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一个根小于 $0$ ，求 $k$ 的取值范围．

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23. 如图，在高 $3 m$ ，宽 $4 m$ 的长方形墙面上有一块长方形装饰板 $($ 图中阴影部分 $)$ ，装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面 $.$ 若长方形装饰板的面积为 $4 m^{2}$ ，那么相同的宽度应该是多少米？

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24. 如图，▱ $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O C$ 上一点，点 $F$ 在 $B E$ 延长线上，且 $E F = B E$ ， $E F$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $D F / / A C$ ；

(2)、连结 $D E$ 、 $C F$ ，如果 $B F = 2 A B$ ，且 $G$ 恰好是 $C D$ 的中点，求证：四边形 $C F D E$ 是矩形．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = 2 x + 2$ 的图象向下平移得到一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，若平移后的函数图象经过点 $(1 ， - 4)$ ，

(1)、求 $k$ ， $b$ 的值；

(2)、对于自变量 $x$ 的每一个值，一次函数 $y = 2 x + 2$ ， $y = k x + b (k \neq 0)$ 和 $y = n x - n (n \neq 0)$ ，所对应的函数值分别记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，若当 $0 < x < 2$ 时，总有 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ ，请你直接写出n的取值范围．

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26. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在边 $A D$ 上，延长 $C P$ 至 $E$ ，连结 $D E$ ，使 $D E = D C$ ， $D N$ 平分 $∠ A D E$ ，交 $C E$ 于点 $N$ ，连接 $A E$ 、 $A N$ 、 $B N$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、判断 $△ A N E$ 的形状，并证明；

(3)、用等式表示线段 $D N$ 、 $B N$ 、 $C N$ 三者之间的数量关系，并证明．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 2)$ ，点 $B (2 ， 0)$ ，点 $C (0 ， - 2)$ ，点 $D (- 2 ， 0)$ ， $M$ 为四边形 $A B C D$ 边上一点 $.$ 对于点 $P (6 ， 0)$ 给出如下定义：若 $∠ P M P' = 90 °$ ， $P M = P' M$ ，点 $P'$ 在 $x$ 轴下方，点 $P'$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，我们称点 $Q$ 为点 $P$ 关于点 $M$ 为直角顶点的“变换点”．

(1)、 $①$ 在图中分别画出点 $P$ 关于点 $A$ 和点 $B$ 直角顶点的“变换点” $G$ 、 $R$ ；
$②$ 连结 $G R$ ，用等式表示线段 $G R$ 与 $A B$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、直线 $y = k x + 3 k (k \neq 0)$ 上存在点 $P$ 关于点 $M$ 为直角顶点的“变换点”，直接写出 $k$ 的取值范围．

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	甲	乙	丙	丁
平均数(秒)	12.2	12.1	12.2	12.1
方差	6.3	5.2	5.8	6.1