苏科版数学七年级上册有理数章末七大题型汇总（培优篇）-在线组卷题库

1. 在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b.对点A给出如下定义：当 $b \geq 0$ 时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当 $b < 0$ 时，将点A向左移动 $| b |$ 个单位长度，得到点P.称点P为点A关于点B的“伴侣点”.如图，点A表示的数为 $- 1$ .

(1)、在图中画出当 $b = 6$ 时，点A关于点B的“伴侣点”P；

(2)、当点P表示的数为-6，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数；

(3)、点A从数轴上表示-1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒.
①点B表示的数为（用含t的式子表示）；

②是否存在t，使得此时点A关于点B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

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2. 对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“和谐点”.
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“和谐点”.

(1)、在数轴上，若点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为2，数 $- \frac{2}{3}$ ， 0，4，6所对应的点分别为D，E，F，G，其中是点A，B的“和谐点”的是；

(2)、已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且 $| a + 10 | + | b - 30 | = 0$ ，点P为数轴上一个动点.
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“和谐点”，求出此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“和谐点”，求出此时点P表示的数.

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3. 观察下列两个等式： $2 - \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} + 1$ ， $5 - \frac{2}{3} = 5 \times \frac{2}{3} + 1$ ，给出定义如下：我们称使等式 $a - b = a b + 1$ 成立的一对有理数 $a ， b$ 为“共生有理数对”，记为 $(a ， b)$ ，如数对 $(2 ， \frac{1}{3})$ ， $(5 ， \frac{2}{3})$ ，都是“共生有理数对”.

(1)、判断数对 $(3 ， \frac{1}{2})$ 是否为“共生有理数对”，并说明理由；

(2)、若 $(m ， n)$ 是“共生有理数对”，且 $m n = 3$ ，求 $(- 2)^{m - n}$ 的值.

(3)、若 $(m ， - n)$ 是“共生有理数对”，则 $(2 n ， - 2 m)$ 是“共生有理数对”吗？请说明理由.

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4. 在实数范围内定义运算“※”： $a ※ b = a b - a + \frac{1}{2} b$ ，例如： $3 ※ 2 = 3 \times 2 - 3 + \frac{1}{2} \times 2 = 4$ .

(1)、若 $a = 5$ ， $b = - 4$ ，计算 $a ※ b$ 的值.

(2)、若 $(- 2) ※ x = 1$ ，求x的值.

(3)、若 $a - b = 2022$ ，求 $a ※ b - b ※ a$ 的值.

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5. 阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．

(1)、如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D【A，B】的好点，但点D【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）

(2)、知识运用：
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2．数所表示的点是【M，N】的好点；

(3)、如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

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6. 在数轴上点A表示数a ，点B表示数b ，点C表示数c；a是最大的负整数，a、b、c满足|a+b|+（c﹣5）²＝0．

(1)、填空：a＝， b＝， c＝；

(2)、P为数轴上一动点，其对应的数是x ，当P在线段AC上，且PA+PB+PC＝7时，求x的值．

(3)、若点P ， Q分别从A ， C同时出发，匀速相向运动，点P的速度为3个单位/秒，点Q的速度为1个单位/秒．当点P运动到C后迅速以原速返回A；点Q运动至B点后停止运动，同时P点也停止运动．求在此运动过程中P ， Q的相遇点在数轴上对应的数．

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7. 如图，点O为数轴原点，点A对应的数为-5，点B对应的数为10.

(1)、点C是数轴上A、B之间的一个点，且 $4 C A = C B$ ，求线段CA的长及点C对应的数.

(2)、点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当满足 $A P + B Q = 2 P Q$ ，求运动时间t.

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8. 已知a是最大的负整数，b是 $\frac{1}{5}$ 的倒数，c比a小1，且a、b、c分别是A、B、C在数轴上对应的数．若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．

(1)、在数轴上标出点A、B、C的位置；

(2)、运动前P、Q两点间的距离为；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为和；

(3)、求运动几秒后，点P与点Q相遇？

(4)、在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于11，直接写出所有点M对应的数．

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9. 如图，数轴上点M，N对应的实数分别为-6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒.

(1)、如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；

(2)、如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点.
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数.

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10. 如图，数轴上有M，N两点和一条线段 $P Q$ ，我们规定：若线段 $M N$ 的中点R在线段 $P Q$ 上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段 $P Q$ “中线对称”．
已知点O为数轴的原点，点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段 $O B$ “中线对称”，则x的最大值为．

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11. 对于有理数 $x$ ， $y$ ， $a$ ， $t$ ，若 $| x - a | + | y - a | = t$ ，则称 $x$ 和 $y$ 关于 $a$ 的“美好关联数”为 $t$ ，例如，则 $| 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 3$ ，则2和3关于1的“美好关联数”为3.

(1)、 $- 3$ 和5关于2的“美好关联数”为；

(2)、若 $x$ 和2关于3的“美好关联数”为4，求 $x$ 的值；

(3)、若 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 关于1的“美好关联数”为1， $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 关于2的“美好关联数”为1， $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 关于3的“美好关联数”为1，…， $x_{40}$ 和 $x_{41}$ 的“美好关联数”为1，….
① $x_{0} + x_{1}$ 的最小值为 ▲ ；
② $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{40}$ 的值为 ▲ .

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12. 规律探究和应用：

(1)、数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-2和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；如果表示数a和的之间的距离是3，那么．

(2)、若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．

(3)、当a取何值时， $| a + 5 | + | a - 1 | + | a - 4 |$ 的值最小，最小值是多少？

(4)、求的最小值，并求出此时a的取值范围．

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13. 东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x₁ ， x₂ ， x₃ ，称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ，计算|x₁|， $\frac{| x_{1} + x_{2} |}{2}$ ， $\frac{| x_{1} + x_{2} + x_{3} |}{3}$ ，将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为 $| 2 | = 2$ ， $\frac{| 2 + (- 1) |}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ， $\frac{| 2 + (- 1) + 3 |}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ，所以数列2，−1，3的最佳值为 $\frac{1}{2}$ ．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为 $\frac{1}{2}$ ；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为 $\frac{1}{2}$ ．根据以上材料，回答下列问题：

(1)、数列−5，−4，3的最佳值为

(2)、将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；

(3)、将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．

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14. 已知整数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ ……满足下列条件： $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = - | a_{1} + 1 |$ ， $a_{3} = - | a_{2} + 2 |$ ， $a_{4} = - | a_{3} + 3 |$ ……依次类推，则 $a_{2017}$ 的值为（）

A、 $- 1009$ B、 $- 1008$ C、 $- 2017$ D、 $- 2016$

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15. 正整数按如图所示的规律排列，则第9行、第 $10$ 列的数字是（）

A、 $90$ B、 $86$ C、 $92$ D、 $10$

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16. 将边长为1的正方形纸片如图1所示的方法进行对折，记第一次对折后得到的图形面积为 $S_{1}$ ，第2次对折后得到的图形面积为 $S_{2} \dots$ ，第 $n$ 次对折后得到的图形面积为 $S_{n}$ ，请根据图2化简 $S_{1} + S_{2} + S_{3} \dots S_{2014} =$ （）

A、 $1 - \frac{1}{2^{2015}}$ B、 $\frac{2014}{2015}$ C、 $1 - \frac{1}{2^{2014}}$ D、 $\frac{2013}{2014}$

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17. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
$|$
$| |$
$| | |$
$| | | |$
$| | | | |$
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“ $|$ ”、“”和两个空位，则这个四位数是.

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18. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数.从下往上，第1个至第5个台阶上依次标有 $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 1，4，且任意相邻五个台阶上数的和都相等.

(1)、求前5个台阶上的数的和；

(2)、求第6个台阶上的数x；

(3)、求从下往上前2023个台阶上的数的和；

(4)、求第k次出现标“1”所在的台阶数.（用含k的式子表示）

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19. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点 $M_{1} ， N_{1}$ ；第二次操作：分别取线段 $A M_{1}$ 和 $A N_{1}$ 的中点 $M_{2} ， N_{2}$ ；第三次操作：分别取线段 $A M_{2}$ 和 $A N_{2}$ 的中点 $M_{3} ， N_{3}$ ；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 $M_{1} N_{1} + M_{2} N_{2} + ⋯ + M_{10} N_{10} =$ （）

A、 $20 - \frac{10}{2^{9}}$ B、 $20 + \frac{10}{2^{9}}$ C、 $20 - \frac{10}{2^{10}}$ D、 $20 + \frac{10}{2^{10}}$

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20. 我们知道 $| 4 | = | 4 - 0 |$ ，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点 $($ 即表示0的点 $)$ 之间的距离，又如式子 $| 7 - 3 |$ ，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点 $A$ 表示的数记为 $a$ ，点 $B$ 表示的数记为 $b$ 则 $A$ ， $B$ 两点间的距离就可记作 $| a - b |$ ．
回答下列问题：

(1)、数轴上表示－4和2的两点之间的距离是．

(2)、小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，若表示2的点与表示-4的点重合．
①则与表示10的点重合的点表示的数是 ▲ ．
②这时如果 $M$ ， $N (M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ 两点之间的距离为2022，且 $M$ ， $N$ 两点经过折叠后重合，则 $M$ ， $N$ 表示的数分别是多少？

(3)、如图，在数轴上剪下6个单位长度 $($ 从-1列5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点表示的数可能是几？

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21. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a-b|，线段AB的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

【综合运用】

(1)、填空：
①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；

②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．

(2)、求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

(3)、求当t为何值时，PQ＝ $\frac{1}{2}$ AB；

(4)、若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

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22. 【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书” $($ 如图① $)$ ，是世界上最早的矩阵，又称幻方.用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方 $($ 如图② $)$ .

(1)、观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是；

(2)、若图③是一个幻方，求图中a= ， b=

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23. 如图，将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则a﹣b+c的值为（）

A、﹣5 B、﹣4 C、0 D、5

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24. 在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是（）．

A、15 B、17 C、19 D、21

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25. 爱动脑筋的小明同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，-2，3，-4，5，-6，7，-8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将-2，-6，7，-8这四个数填入了圆圈，则图中 $a - b$ 的值为 .

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26. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现-1，2，-2，-4，5，-5，6，8 填入如图2所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中 $a + b + c - d$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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27. 有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中 $| a | < | c |$ ，则下列各式：① $a b c > 0$ ；② $a - b + c < 0$ ；③ $\frac{| a |}{a} + \frac{b}{| b |} + \frac{| c |}{c} = - 1$ ；④ $| a + b | - | b - c | + | a - c | = - 2 c$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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28. 有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是（填序号即可）.
① $a b c < 0$ ；② $a + c < 0$ ；③ $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = 1$ ；④ $| c - b | + | a - b | = | a - c |$

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29.

(1)、如果 $| m - 4 | + {(n + 5)}^{2} = 0$ ，求 ${(m + n)}^{2021} + m^{3}$ 的值.

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ，且 $a$ ， $b$ 互为倒数， $c$ ， $d$ 互为相反数， $e$ 的绝对值为2，求 $\frac{1}{2} a b + \frac{c + d}{7} + e^{2}$ 的值.

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30. 我们知道乌鸦喝水的故事.现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中.显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化.根据如图信息，解答下列各题：

(1)、投入第1个围棋子后，水位上升了 $c m$ ，此时桶里的水位高度达到了 $c m$ ；

(2)、设投入了n个棋子，没有水溢出.用n表示此时桶里水位的高度；

(3)、小亮认为投入 $72$ 个棋子，正好可使水位达到桶的高度.你同意他的观点吗？说说理由.

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31. 2019年2月，市城区公交车施行全程免费乘坐政策，标志着我市公共交通建设迈进了一个新的时代．如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点，如图所示：

某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到 $A$ 站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下 $($ 单位：站 $)$ ：+5，-2，+6，-11，+8﹐+1，-3，-2，-4，+7

(1)、请通过计算说明 $A$ 站是哪一站？

(2)、若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？

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苏科版数学七年级上册有理数章末七大题型汇总（培优篇）

一、有理数新定义问题

二、数轴上的动点问题

三、绝对值中的最值问题

四、有理数的规律探究

五、有理数中的对折问题

六、幻方应用

七、有理数实际应用