2024高考一轮复习第二十二讲三角函数的图像与性质

试卷更新日期：2023-09-19 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 为了得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需要把函数 $y = s i n x$ 的图象上（）

A、各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、各点的横坐标伸长到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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2. 将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{12})$

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3. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $ω + φ$

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4. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上恰有两条对称轴，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{7}{4} ， \frac{13}{4}]$ B、 $(\frac{9}{4} ， \frac{11}{4}]$ C、 $[\frac{7}{4} ， \frac{11}{4})$ D、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4})$

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5. 函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $t a n φ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 对任意 $x \in (0 ， \frac{3 π}{4})$ 都有 $f (x) > \frac{1}{2}$ ，则当 $ω$ 取到最大值时，函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴是（）

A、 $x = \frac{9 π}{28}$ B、 $x = \frac{27 π}{28}$ C、 $x = \frac{9 π}{20}$ D、 $x = \frac{27 π}{20}$

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7. 某正弦型函数的图象如图，则该函数的解析式可以为（）

A、 $y = 2 s i n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 s i n (\frac{x}{2} + \frac{5 π}{12})$ C、 $y = - 2 s i n (\frac{3 x}{2} - \frac{3 π}{4})$ D、 $y = - 2 s i n (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$

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8. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图像，只需将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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9. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，则要得到函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象，只需将函数 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 要得到函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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12. 为了得到函数 $y = 3 s i n (2 x - \frac{π}{5})$ 的图象，只要把 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度

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13. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ) (x \in R ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 3 s i n (\frac{1}{3} x - \frac{π}{12})$ B、 $f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、不等式 $f (x) \geq \frac{3}{2}$ 的解集为 $[6 k π + \frac{π}{4} ， 6 k π + \frac{9 π}{4}]$ ， $k \in Z$ D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得的函数图象在 $[6 π ， 8 π]$ 上单调递增

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14. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (- \frac{π}{8}) = 0$ ， $| f (\frac{3 π}{8}) | = 1$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{24})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $5$ D、 $7$

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15. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称

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16. 设函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $\frac{π}{3} < T < \frac{π}{2}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上是减函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上有且仅有两个极值点

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二、填空题

17. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调，则 $ω =$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为

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19. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，且 $f (\frac{π}{3} + x) = - f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} | s i n x | - | c o s x |$ ，有以下命题：
①函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

②函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上为增函数；

③直线 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴；

④函数 $y = f (x) - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上有三个零点；

⑤函数 $y = f (x)$ 的最小值为 $- 1$ .

请写出正确命题的全部序号

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (2 x)$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上单调递增，求实数 $m$ 的最大值．

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22. 若函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{5 π}{12}) - \sqrt{3} c o s (ω x + \frac{π}{12})$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若 $ω = 2$ ，求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上没有零点，求 $ω$ 的取值范围.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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