2024高考一轮复习第十八讲导数与函数的证明

试卷更新日期：2023-09-18 类型：一轮复习

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一、解答题

1. 已知 $x > - 1$ ，证明：

(1)、 $e^{x} - 1 \geq x \geq l n (x + 1)$ ；

(2)、 $(e^{x} - 1) l n (x + 1) \geq x^{2}$ ．

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2. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x + 1$ 在 $x = 0$ 处有极值2．
（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值；
（Ⅱ）证明： $f (x) > e x - x$ ．

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3. 已知函数 $f (x) = s i n x - l n (1 + x)$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数．证明：

(1)、 $f^{^{'}} (x)$ 在区间 $(- 1 ， \frac{π}{2})$ 存在唯一极大值点；

(2)、 $f (x)$ 有且仅有2个零点．

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4. 已知函数 $f (x) = c o s x + l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，证明：

(1)、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， \frac{π}{2})$ 存在唯一极大值点；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 存在唯一极小值点；

(3)、 $f (x)$ 有且只有一个零点.

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5. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - x$ ．
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) - \ln x \geq 1$ ．

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} ln (1 + x)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$ ．

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \ln x + a (a > 0)$ ．
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，证明 $f (x)$ 有极小值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ；

（Ⅱ）证明 $f (x) \geq 2$ ．

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8. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x$ ， $g (x) = x e^{x} - a$ .
（Ⅰ）若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $a = 1$ ，证明 $f (x) \leq g (x)$ ．

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9. 已知函数 $F (x) = \frac{\ln x}{x - 1} - \frac{a}{x + 1}$ ．
（Ⅰ）设函数 $h (x) = (x - 1) F (x)$ ，当 $a = 2$ 时，证明：当 $x > 1$ 时， $h (x) > 0$ ；

（Ⅱ）若 $F (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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10. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{(a + x)^{2}}{2}$ （ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）若函数 $h (x) = f (x) - x - (a + 1) l n x$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{^{'}} (x)$ 的两个零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{2}) < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .

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11. 已知函数 $f (x) = (x - 1) l n x - x - 1$ ，证明：

(1)、 $f (x)$ 存在唯一的极值点；

(2)、 $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x + a} (a > 0)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \leq \frac{x - 1}{2}$ ；

（Ⅲ）判断 $f (x)$ 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

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13. 已知函数 $f (x) = a x - a x \ln x + 1 (a \in R ， a \neq 0)$ ．
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $a = - 2$ 时， $f (x) \leq x^{2} - 3 x + \frac{1}{x} + 2 \ln x$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \ln x + a (\frac{1}{x} - 1) ， a \in R$ .
（Ⅰ）若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 取值的集合；

（Ⅱ）证明： $e^{x} + \frac{1}{x} \geq 2 - \ln x + x^{2} + (e - 2) x$ .

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15. 已知函数 $f (x) = 4 \cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3}) - e^{x}$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，证明：

(1)、 $f^{'} (x)$ 在区间 $[- π ， 0]$ 上存在唯一极大值点；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[- π ， 0]$ 上有且仅有一个零点.

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16. 已知函数，f(x)= $\frac{x^{3}}{3}$ -mx²-m+ln(1-m)，(m<1)．
（Ⅰ）当m= $\frac{1}{2}$ 时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点．

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