2024高考一轮复习第十七讲导数与函数的零点

试卷更新日期：2023-09-18 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m x + \frac{m}{2}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， 2 e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(2 e ， + \infty)$

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2. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a$ 有且仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 8) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $(- 8 ， 0)$

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3. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + a$ 有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $[- 2 ， 2]$

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4. 已知函数 $f (x) = 2 x - t l n x$ 存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A、 $(\frac{e}{2} ， + \infty)$ B、 $(e ， + ∞)$ C、 $(2 e ， + ∞)$ D、 $(3 e ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $a < - e$ B、 $x_{1} + x_{2} > l n (x_{1} x_{2}) + 2$ C、 $x_{1} x_{2} > 1$ D、 $f (x)$ 有极小值点 $x_{0} = l n (- a)$

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6. 若函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} - a$ 在区间 $(1 ， e)$ 上只有一个零点，则常数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a > e$ C、 $1 < a < \frac{1}{e} + 1$ D、 $\frac{1}{e} < a < 1$

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7. 已知函数 $f (x) = x + 1 - a e^{- x}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- e^{2} ， 0)$ D、 $(- e^{2} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = l n x - x - x e^{- x} - k$ 恒有零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 1 - \frac{1}{e}]$ C、 $[- 1 - \frac{1}{e} ， - 1]$ D、 $[- 1 - \frac{1}{e} ， 0]$

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9. 函数 $f (x) = a (x - 1) - e^{x} (2 x - 1)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1) ∪ (4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$ B、 $(1 ， 4 e^{\frac{3}{2}})$ C、 $(0 ， 1) \cup (4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$ D、 $(4 e^{\frac{3}{2}} ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} + l n x - a x - b$ ，则下列命题正确的个数为（）
（1）存在 $a ， b \in R$ ，使得函数 $f (x)$ 没有零点；
（2）任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有1个零点；
（3）任意 $a > 0$ ，存在 $b \in R$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有2个零点；
（4）任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有3个零点；（5）存在 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 恰有3个零点；

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = 3 x - x^{3} - a$ 仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有零点，则 $a b$ 的最大值为.

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13. 已知函数 $f (x) = t (x^{3} + 4) - 3 x^{2}$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，则实数 $t$ 的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = m l n x - 2 x^{3} + 4 e x^{2} - m x$ （ $m \geq 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上有零点，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 3$ 有两个零点．

(1)、求实数a的取值范围．

(2)、函数 $g (x) = f (x) + x - l n (x + 1)$ ，证明：函数 $g (x)$ 有唯一的极小值点．

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16. 设 $a < \frac{e}{2}$ ，已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a (x^{2} - 2 x) + 2$ 有 $3$ 个不同零点.

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值：

(2)、求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $f (x)$ 的三个零点分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} \cdot x_{3} < 0$ ，证明：存在唯一的实数 $a$ ，使得 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 成等差数列.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x - 1)$ 有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $x_{1} \cdot x_{2} < x_{1} + x_{2}$ .

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18. 若函数 $f (x) = a l n x - \frac{1}{2} x^{2} + a + \frac{1}{2} (x > 0)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(x_{1} ， 0)$ 和 $(x_{2} ， 0)$ 处的切线交于点 $(x_{3} ， y_{3})$ ，求证： $2 x_{3} < x_{1} + x_{2} < 2 (a + 1)$ .

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19. 设函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - m x + 2$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2 e$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求证： $a > e$ ；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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二、填空题

三、解答题

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