2024高考一轮复习第十六讲导数与函数的极值最值

试卷更新日期：2023-09-18 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 8 x$ 在区间 $[- 3 ， 1]$ 上（）

A、有极大值和极小值 B、有极大值，无极小值 C、有极小值，无极大值 D、没有极值

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2. 下列函数中，不存在极值点的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{| x |}$ C、 $y = x \cdot l n x$ D、 $y = - 2 x^{3} - x$

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3. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 的图象是一条连续不断的曲线，设其导函数为 $f' (x)$ ，函数 $g (x) = (x^{2} - x) f' (x)$ 在区间 $[- a ， a]$ 上的图象如下，则 $f (x)$ 在区间 $(- a ， a)$ 上（）

A、有极大值和极小值 B、有极大值，没有极小值 C、有极小值，没有极大值 D、没有极值

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4. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} s i n x$ ，则当 $x \in (0 ， 2 π)$ 时，函数 $f (x)$ 一定有（）

A、极大值，且极大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、极小值，且极小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、极大值，且极大值为0 D、极小值，且极小值为0

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1 (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < - \sqrt{3}$ 或 $a > \sqrt{3}$ B、 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{3}$ D、 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{3}$

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6. 若函数 $f (x) = x^{2} - a x + l n x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$ C、 $a < - 2 \sqrt{2}$ 或 $a > 2 \sqrt{2}$ D、 $a > 2 \sqrt{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{b}{x}$ 的极值点为1，且 $f^{'} (2) = 1$ ，则 $f (x)$ 的极小值为（）

A、-1 B、 $- a$ C、b D、4

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8. 若函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - 2 x + \ln x$ 存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、（0，1] B、（0，1） C、（-∞，1] D、（-∞，1）

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值0，则 $a + b$ 的值为（）

A、4 B、7 C、11 D、4或11

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10. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $y = {(x - 1)}^{3} f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B、函数f（x）有极小值f(-3)和f（3） C、函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D、函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）

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11. 若 $x = 2$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x - 2 \ln x$ 的极值点，则函数（）

A、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，无最大值 B、有最大值 $- 2 \ln 2$ ，无最小值 C、有最小值 $- 2 \ln 2$ ，最大值 $2 \ln 2$ D、无最大值，无最小值

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12. 函数 $f (x) = (1 - x) e^{x}$ 有（）

A、最大值为1 B、最小值为1 C、最大值为 $e$ D、最小值为 $e$

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二、填空题

13. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x l n (a - x)$ 的极值点，则a=.

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14. 若 $x = a$ 是函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - (a + 3) x + l n x$ 的极小值点，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4} ， 3]$ 上的最大值为．

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15. 已知： $f (x) = x - a \ln x - 1$ ，若 $f (x)$ 有最值，则 $a$ 的取值范围为；若当 $x \in (e ， e^{2})$ 时， $f (x) \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 若函数 $f (x) = - 4 x^{3} + 3 x$ 在 $(a ， a + 2)$ 上存在最小值，则实数 $a$ 的取值可以是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 m x^{2} + n x$ 在 $x = - 1$ 时有极值0

(1)、求 $m ， n$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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18. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：存在实数 $a$ 使得 $x_{1} + x_{2} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x + 1 (a \in R) ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (2) = 0$ .
(I)求a的值；

(II)求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最值.

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20. 已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{a + 1}{2} x^{2} + 1$ ．
（Ⅰ）当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值；

（Ⅱ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅲ）当 $- 1 < a < 0$ 时，有 $f (x) > 1 + \frac{a}{2} \ln (- a)$ 恒成立，求a的取值范围．

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2024高考一轮复习 第十六讲 导数与函数的极值最值

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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