2024高考一轮复习第十五讲导数与函数的单调性

试卷更新日期：2023-09-18 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ （）

A、在 $(- \infty ， - 2)$ 上单调递增 B、在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减 C、在 $(- \infty ， 3)$ 上单调递增 D、在 $(3 ， + \infty)$ 上单调递减

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2. 函数 $f (x) = \frac{x - 2}{e^{x}}$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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3. 函数 $f (x) = x^{2} l n x$ 的单调递增区间为（）

A、 $(0 ， \sqrt{e})$ B、 $(\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{e}}{e})$

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4. 函数 $f (x) = 2 x - 5 l n x - 4$ 的单调递增区间是（）

A、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， 0)$ 和 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{5}{2})$ D、 $(0 ， 3)$

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5. 函数 $f (x) = x + \sin x$ 在区间 $(0 ， π)$ 的单调性为（）

A、单调递增 B、单调递减 C、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递增， $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减 D、在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递减， $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增

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6. 已知函数f(x)= $a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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7. 若函数 $f (x) = x^{2} + a l n x + \frac{2}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上为单调递增函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(- ∞ ， 4]$ C、 $(- 4 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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8. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} + b x$ 的单调递减区间为 $(\frac{1}{2} ， 1)$ ，则 $b$ 的值为（）

A、3 B、-6 C、6 D、-3

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < - 2$ C、 $a \geq 0$ D、 $a < 0$

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10. 若函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + 3 x$ 在 $(\frac{1}{3} ， 2)$ 上存在单调递增区间，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 5 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 5)$ D、 $(- \infty ， - 3)$

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11. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a x - l n x$ 在区间 $(3 ， 4)$ 上不单调，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{8}] ∪ [\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{3}]$ C、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{3})$ D、 $(- ∞ ， - \frac{1}{3}) ∪ (- \frac{1}{8} ， + ∞)$

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12. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + a x - 1$ 是R上的单调函数，则实数a的取值范围（）

A、 $a \geq \frac{1}{3}$ B、 $a \leq \frac{1}{3}$ C、 $a > \frac{1}{3}$ D、 $a < \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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14. 若函数 $f (x) = l n x - \frac{m}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是单调增函数，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 若函数 $f (x) = 3 x l n x - (3 + a) x$ 在 $[3 ， 5]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为.

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三、解答题

16. 设函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a \leq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（i）证明 $f (x)$ 恰有两个零点
（ii）设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明 $3 x_{0} - x_{1} > 2$ .

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17. 已知函数 $f (x) = a l n x + x$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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18. 试求函数 $f (x) = k x - \ln x$ 的单调区间．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 a x + b x - 1 - 2 l n x (a \in R)$ ．
(Ⅰ)当 $b = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(Ⅱ)若对任意的 $a \in [1 ， 3]$ 和 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \geq 2 b x - 3$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = (t + 1) x + \ln x$ ．
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 单调性；

（Ⅱ）若 $\forall x \in [1 ， e]$ ，不等式 $f (x) \geq 3 x + \frac{2}{x}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x} (a \in R)$ ．
（I）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（II）求证： $\forall x \in (1 ， 2)$ ，不等式 $\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} < \frac{1}{2}$ 恒成立．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a l n x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）已知 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (m - 1) x + \frac{1}{x}$ ， $m \leq - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ .当 $a = 1$ 时， $h (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $h (x_{1}) - h (x_{2})$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = \ln x - (m + 2) x$ ， $h (x) = - m x^{2} - 2$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）设 $m > 0$ ，若存在 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，使得不等式 $f (x) < h (x)$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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2024高考一轮复习 第十五讲 导数与函数的单调性

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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