2024高考一轮复习第十一讲对数运算与对数函数

试卷更新日期：2023-09-18 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $5^{a} = 2$ ， $b = l o g_{5} 3$ ，则 $l o g_{5} 18 =$ （）

A、 $a + 3 b$ B、 $a + 2 b$ C、 $2 a + b$ D、 $3 a + b$

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2. 已知 $a l o g_{3} 4 = 1$ ， $2^{b} = 6$ 则（）

A、 $a = 1 + b$ B、 $b = 1 + a$ C、 $a = 1 + 2 b$ D、 $b = 1 + 2 a$

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3. 已知函数 $y = l o g_{a} x - 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则该函数图象恒过定点（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， 0)$

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4. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | a x - 2 |$ 的图象关于直线x=2对称，则函数f（x）图象的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{2} (1 - x)}$ 的定义域是（）

A、 $(- ∞ ， 1)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- ∞ ， 0]$

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6. 若函数 $f (x) = l o g_{2} (x + a)$ 的图象过点 $(- 2 ， 0)$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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7. 函数 $y = l o g_{0.5} x$ 与 $y = l o g_{2} x$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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8. 已知函数 $f (x) = l g | x |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 B、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数 C、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数

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9. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 - a x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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10. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} - 3 x - 4)$ 在 $(a ， + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$

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11. 函数 $f (x) = l n (x + 3)$ 的图像与函数 $g (x) = | x^{2} - 2 |$ 的图像的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、0

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二、填空题

12. 求值： ${(l g 5)}^{2} - {(l g 2)}^{2} + \frac{2}{1 + l o g_{2} 5} =$ .

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13. $3^{l o g_{3} 2} + l o g_{4} 27 \cdot l o g_{9} 16 + l g {(\frac{5}{2})}^{2} + 4 l g 2$ =.

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14. 函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} | x - 3 |$ 的单调递减区间是．

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15. 已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} (2 x^{2} - 2 a x + 5 a)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 函数 $y = l o g_{2} (2^{x} + 2)$ 的值域为.

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三、解答题

17.

(1)、求 $2^{l o g_{2} \frac{1}{4}} + (\frac{16}{9})^{- \frac{1}{2}} + l g 20 - l g 2 - l o g_{3} 2 \cdot l o g_{2} 3$ 的值；

(2)、已知 $a + a^{- 1} = 3$ ，求 $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}}$ 的值.

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18. 计算：

(1)、 $l n (e \sqrt{e}) + l o g_{2} (l o g_{3} 81) + 2^{1 + l o g_{2} 3} + \frac{l o g_{\sqrt{3}} 2 + 2 l o g_{3} 5}{l o g_{9} \frac{1}{4} - \frac{1}{3} l o g_{3} 125}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值.

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19. 已知 $l o g_{2} (2 - x) \leq l o g_{2} (3 x + 6)$

(1)、解上述不等式；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $y = {(\frac{1}{4})}_{}^{x} - 2_{}^{1 - x} + 2$ 的最大值和最小值及对应的 $x$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (4 - a x)$ .

(1)、若当 $x \in [\frac{1}{2} ， 3)$ 时，函数 $f (x)$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $[- 5 ， 21]$ 上为增函数，并且在此区间的最小值为 $- 1$ ？若存在，试求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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