2024高考一轮复习第九讲二次函数与幂函数

试卷更新日期：2023-09-17 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 设函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 m x}$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[- 2 ， - 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $(- 4 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $(- 4 ， + \infty)$

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3. 已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 6 x + 3 m < 0$ 在 $(0 ， 2]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \sqrt{3})$ B、 $(- \infty ， \frac{12}{7})$ C、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(\frac{12}{7} ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - (a + 4) x + 5 ， & x < 2 \\ (2 a - 3) x ， & x \geq 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2})$ B、 $[0 ， \frac{3}{2})$ C、 $(0 ， \frac{7}{6}]$ D、 $[0 ， \frac{7}{6}]$

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5. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{e}} (- x^{2} + 2 x + 15)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(1 ， 5)$ D、 $(5 ， + \infty)$

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6. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 2}$ 的图象经过原点，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、3 D、2

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7. 已知 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 a x}$ 在 $[1 ， 3]$ 上是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 k x - 5$ 在 $[- 2 ， 4]$ 上具有单调性，则实数k的取值范围为（）．

A、 $k \leq - 4$ B、 $k \geq 2$ C、 $k \leq - 4$ 或 $k \geq 2$ D、 $k < - 4$ 或 $k > 2$

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9. 已知图象开口向上的二次函数 $f (x)$ ，对任意 $x \in R$ ，都满足 $f (\frac{3}{2} - x) = f (x + \frac{3}{2})$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(a ， 2 a - 1)$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{5}{4}]$ B、 $(1 ， \frac{5}{4}]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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10. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{1 - m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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11. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， \sqrt[3]{3})$ ，则 $l o g_{\frac{1}{3}} f (3)$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、-1

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12. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 3 x + 2}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$

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13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 B、是偶函数，在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 C、是奇函数，在 $(- ∞ ， 0)$ 上是增函数 D、是偶函数，在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数

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14. 设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上有解，则（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq \frac{5}{2}$ D、 $a \geq \frac{5}{2}$

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15. 图中 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 分别为幂函数 $y = x^{α_{1}}$ ， $y = x^{α_{2}}$ ， $y = x^{α_{3}}$ 在第一象限内的图象，则 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 依次可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ ， 3， $- 1$ B、 $- 1$ ， 3， $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ， 3 D、 $- 1$ ， $\frac{1}{2}$ ， 3

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16. 幂函数 $y = x^{a} ， y = x^{b} ， y = x^{c} ， y = x^{d}$ 在第一象限的图像如图所示，则 $a ， b ， c ， d$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $d > b > c > a$ C、 $d > c > b > a$ D、 $b > c > d > a$

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17. 已知方程 $x^{2} - 2 a x + 6 a + 7 = 0$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上有实数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[7 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] ∪ [7 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 7] ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{11}{2}] ∪ [7 ， + \infty)$

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二、填空题

18. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} + m + 3}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则实数 $m =$ .

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19. 若幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1}$ 为奇函数，则该函数的表达式 $f (x) =$

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20. 若不等式 $a x^{2} > x^{2} - x - 1$ 对 $x \in (- \infty ， 0)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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21. 若函数 $f (x) = x^{2} - 6 x + 2 + a$ 在区间 $(1 ， 4)$ 内有零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a ， x \in [2 ， 4]$ 的最小值为 $φ (a)$ .

(1)、求 $φ (a)$ 的解析式；

(2)、若 $φ (m + 1) > φ (2 m - 3)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 的最小值为 $- 9$ ，方程 $f (x) = 7$ 有两个实根 $- 2$ 和6.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq m x - 4 m - 5 (m \in R)$ 的解集.

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2024高考一轮复习 第九讲 二次函数与幂函数

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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