2024高考一轮复习第八讲函数的周期性与对称性

试卷更新日期：2023-09-17 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = 2 - f (x)$ .若 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $f (- 3) = 1$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (3) = 2$ D、 $f (5) = - 1$

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2. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) + f (2 - x) = 0$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数且 $f (1) = 1$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 已知 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数， $f (x + 1)$ 是奇函数， $g (3 - \frac{x}{2})$ 是偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 都不是常数函数，现有下列三个结论：① $f (1) = 0$ ；② $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称；③ $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(3 ， + ∞)$ 上的单调性可能相同 $.$ 其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- x) - f (2 + x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{4039}{2}) + f (\frac{9}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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5. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k)$ （）

A、-2023 B、-2022 C、2022 D、2023

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (2 - x)$ ， $f (x + 3) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、 $f (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (0) = 0$ D、 $f (1) = 0$

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7. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) = f (x)$ ， $y = f (x + 3)$ 为偶函数，若 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 内单调递增.记 $a = f (2021)$ ， $b = f (e^{- 1})$ ， $c = f (l n 2)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $x - y - 3 = 0$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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9. 若奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \frac{x}{4 - 2 x}$ ，则 $f (23) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (2 - x) = 2$ ， $g (x) - f (x - 4) = 4$ ，若 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 1$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 是奇函数， $f (2 x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ，若 $f (0) = 3$ ，则 $f (2022) + f (2023) =$ （）

A、 $0$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $6$

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13. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 10 ， 10]$ 上的奇函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数至少为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{4}$ ，则 $f (l o g_{2} 36) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{39}{8}$ D、 $\frac{39}{4}$

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15. 定义在R上的函数 $f (x)$ 同时满足：① $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， ② $f (- 1 + x) + f (- 1 - x) = 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (1 + x)$ 为奇函数 B、 $(x - 1) f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2) + f (6) = 0$ D、函数 $f (x)$ 的周期 $T = 4$

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16. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，且满足 $f (1) + f (2) = 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ （）

A、 $- 2023$ B、0 C、2 D、2023

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二、填空题

17. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = a x^{3} + 2 x + a + 1$ ，则 $f (2023) =$ .

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为3的奇函数，且 $f (- 1) = 2 f (10) + 3$ ，则 $f (2021) =$ .

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19. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ )时 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{5}$ ，则 $f (l o g_{2} 20) =$ .

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20. 已知定义在R上的奇函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 8) + f (x) = 0$ ，且 $f (5) = 5$ ，则 $f (2019) + f (2024) =$ .

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2024高考一轮复习 第八讲 函数的周期性与对称性

一、选择题

二、填空题

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