【B卷】第一章直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠A的值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{61}}{61}$

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2. 如图，△ABC是锐角三角形，sinC= $\frac{4}{5}$ ，则sinA的取值范围是（）

A、0 $< \sin A < \frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5} < \sin A < 1$ C、 $\frac{3}{5} < \sin A < \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5} < \sin A < 1$

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3. 下列计算中错误的是（）

A、 $s i n 60^{^{。}} - s i n 30^{^{。}} = s i n 30^{^{。}};$ B、 $s i n^{2} 45 ° + c o s^{2} 45 ° = 1$ C、 $t a n 60 ° = \frac{s i n 60 °}{s i n 30 °}$ D、 $c o t 30 ° = \frac{c o s 30 °}{c o s 60 °}$

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4. 如图， $E F$ 与 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 分别交于点E，G，F，且 $∠ 1 = ∠ 2 = 30 °$ ， $E F ⊥ A B$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A B / / C D$ B、 $∠ 3 = 60 °$ C、 $F G = \frac{1}{2} F C$ D、 $G F ⊥ C D$

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5. 如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°，得到矩形ODEF，若当点A的坐标为（- $\sqrt{3}$ ， 0）时，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象恰好经过B、F两点，则此时k的值为（）.

A、 $- 4 \sqrt{3}$ B、-6 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、-3

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6. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，按以下步骤作图：①连接 $B D$ ，以点C为圆心，以 $C D$ 长为半径作弧，交 $B D$ 于点F；②分别以点D，F为圆心，以 $C D$ 长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线 $C G$ 交 $B D$ 于点E．若 $A D = 5$ ， $s i n ∠ A D B = \frac{2}{5}$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、4 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{21}$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A B = 6 ， B C = 9$ ，分别过点D，点C作 $A C ， B D$ 的平行线，两线相交于点E，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F，则 $A F$ 的值是（）

A、7 B、 $\frac{9}{4} \sqrt{13}$ C、8 D、 $\frac{7}{2} \sqrt{13}$

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8. 如图，小明在 $C$ 处看到西北方向上有一凉亭 $A$ ，北偏东 $35 °$ 的方向上有一棵大树 $B$ ，已知凉亭 $A$ 在大树 $B$ 的正西方向，若 $B C = 100$ 米，则 $A$ 、 $B$ 两点相距为（）米．

A、 $\frac{100}{s i n 35 °} + \frac{100}{c o s 35 °} y$ B、 $100 (c o s 35 ° - s i n 35 °)$ C、 $100 (c o s 35 ° + s i n 35 °)$ D、 $\frac{100}{s i n 35 °} - \frac{100}{c o s 35 °}$

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9. 如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得 $∠ P A B = α$ 、 $∠ P B A = β$ ，那么这条河的宽度是（）

A、 $\frac{a}{c o t α + c o t β}$ 米 B、 $\frac{a}{c o t α - c o t β}$ 米 C、 $\frac{a}{t a n α + t a n β}$ 米 D、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ 米

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10. 如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角 $∠ F D C = 30 °$ ，若小华的眼睛与底面的距离 $D G = 1.6$ 米， $B G = 0.7$ 米. $B G$ 平行于 $A C$ 所在的直线，迎水坡 $A B$ 的坡度 $i = 4$ ： $3$ ，坡长 $A B$ 为 $8$ 米，点A，B，C，D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离 $C A$ 的长为（）米 $(\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到 $0.1$ 米 $)$

A、 $8$ B、 $8.1$ C、 $8.3$ D、 $8.4$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点O.点M是 $B C$ 边的中点，连接 $A M 、 O M$ ，作 $C F ∥ A M$ .已知 $O C$ 平分 $∠ B C F$ ， $O B$ 平分 $∠ A O M$ ，若 $B D = 3 \sqrt{2}$ ，则 $s i n ∠ B A M$ 的值为.

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 内部作等边 $△ E D C$ ， $A E$ 交 $B C$ 于F点，过E作 $G H ⊥ A F$ ，分别交 $A B 、 C D$ 于点G，H．则 $\frac{E H}{A F}$ 的值是．

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13. 矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 6 ， B C = 4$ ．点 $P$ 为平面内一点， $∠ A P D = 90 °$ ，若 $\tan ∠ A B P = \frac{1}{3}$ ，则 $B P =$ ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 上一点， $E B = 8$ ， $A B = 4$ ，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 所在的直线翻折，得到 $△ A B^{'} E$ ， $B^{^{'}} E$ 交 $A D$ 于点F，将 $△ A B^{'} E$ 沿 $B^{^{'}} E$ 所在的直线翻折，得到 $△ A^{'} B^{'} E$ ， $A^{'} E$ 交 $A D$ 于点G， $\frac{G E}{G A^{'}}$ 的值为．

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15. 图1是一辆卸货车实物图，折线ABC是支架， B D为可伸缩的液压支撑杆，测得 $B C = \sqrt{10}$ ， $C D = \sqrt{2} ， D E = 3 ， ∠ A B C = ∠ C D E = 135^{°} ， ∠ E F G = 90^{°} ，$ 图2是卸货车不工作时的侧面示意图，此时AB与FG在同一直线上，
CDll AB，且∠DEF=135°，则BF= ，图3是卸货车工作时的侧面示意图，折线CDE可绕点C上下旋转，且∠CDE始终保持不变，EF始终保持与地面垂直，当BD⊥DE时，FG与AB的距离为.

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 如图，已知正方形 $A B C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为边 $C D$ 、 $A D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $M$ ， $D N ⊥ A E$ ，垂足为点 $N$ ．

(1)、求证： $A M = M N$ ；

(2)、连接 $B E$ ，求 $∠ M B E$ 正弦值．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 是对角线 $A C$ 上一点． $F$ 是线段 $B C$ 延长线上一点，且 $C F = A E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、如图1，若 $E$ 是线段 $A C$ 上任意一点，连接 $E F ， D F ， D E$ ，求证： $△ A D E ≌ △ C D F$ ．

(2)、在第（1）题的前提下，求证： $B E = E F$ ．

(3)、如图2，若 $E$ 是线段 $A C$ 延长线上一点，其他条件不变，且 $B E ∥ A F$ ，求 $t a n ∠ A F C$ 的值．

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18. 图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴.

(1)、当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.

(2)、如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；

②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.

（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）

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19. 如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：

(1)、盲区1的面积约是m²；盲区2的面积约是m²；（ $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，结果保留整数）

(2)、如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．

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20. 为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园 $A B C$ 边上修建一个四边形人工湖泊 $A B D E$ ，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点 $C$ 在点 $A$ 的正东方向170米处，点 $E$ 在点 $A$ 的正北方向，点 $B 、 D$ 都在点 $C$ 的正北方向， $B D$ 长为100米，点 $B$ 在点 $A$ 的北偏东 $30 °$ 方向，点 $D$ 在点 $E$ 的北偏东 $58 °$ 方向．

(1)、求步道 $D E$ 的长度．

(2)、点 $D$ 处有一个小商店，某人从点 $A$ 出发沿人行步道去商店购物，可以经点 $B$ 到达点 $D$ ，也可以经点 $E$ 到达点 $D$ ，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 综合与实践如图，正方形 $A C B F$ 与正方形 $C D G E$ 有公共顶点C， $A C = 3$ ， $C D = 2$ ，连接 $A D ， B E$ ．

(1)、如图①，当点E，G在正方形 $A C B F$ 内时，线段 $B E$ 与 $A D$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、把正方形 $C D G E$ 绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)、把正方形 $C D G E$ 绕点C在平面内自由旋转．
①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是；

②旋转过程中， $| A E - A D |$ 的最大值为．

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22. 如图

(1)、（问题情境）
如图1，在矩形ABCD中，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，设AD与CE相交于点F，那么AC与DE的位置关系为.

(2)、（类比探究）
如图2，若四边形ABCD为平行四边形，上述“问题情境”中的条件不变，

①猜想AC与DE的位置关系，并证明你的结论；

②当∠B与∠ACB满足什么数量关系时，△ABC∽△FEA？请说明理由；

(3)、（拓展应用）
如图3，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，上述“问题情境”中的条件不变，当△AEC是直角三角形时，请直接写出DE的长为.

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【B卷】第一章 直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

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