【A卷】第一章直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，则 $s i n A$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 已知角α为 $△$ ABC的内角，且cosα= $\frac{2}{3}$ ，则α的取值范围是（）

A、0°<α<30° B、30°<α<45° C、45°<α<60° D、60°<α<90°

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3. 已知sin42°≈ $\frac{2}{3}$ ，则cos48°的值约为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. $2 s i n 4 5^{∘}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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5. 已知 $\tan A = 0.85$ ，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 4$ ，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则满足条件的 $B C$ 长可以是（）

A、1 B、2 C、6 D、8

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，设 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（）

A、 $\tan B = \frac{b}{a}$ B、 $\tan B = \frac{c}{b}$ C、 $\sin B = \frac{a}{b}$ D、 $\sin B = \frac{b}{a}$

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9. 如图，海中有一小岛 $A$ ，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，渔船从 $B$ 点出发由西向东航行 $10 n m i l e$ 到达 $C$ 点，在 $C$ 点测得小岛 $A$ 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 $A$ 的距离为 $n m i l e$ ．（）

A、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ C、 $20$ D、 $10 \sqrt{3}$

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10. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 $A B$ 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成 $25 °$ 角（即 $∠ B A C = 25 °$ ）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即 $A C = 32$ 米），则彩旗绳 $A B$ 的长度为（）

A、 $32 s i n 25 °$ 米 B、 $32 c o s 25 °$ 米 C、 $\frac{32}{s i n 25 °}$ 米 D、 $\frac{32}{c o s 25 °}$ 米

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 计算： $\frac{c o s 60 ° - s i n 60 °}{c o t 30 ° - t a n 45 °} =$

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12. 如图， $△ A B C$ 的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则 $∠ B A C$ 的正切值为．

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13. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{6}{7}$ ，则 $c o s B =$ ．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，点D在边AB上，连接CD ．若 $B D = C D$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n B =$ ．

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15. 如图，斜坡 $A B$ 的坡度 $i_{1} = 1 ： \sqrt{3}$ ，现需要在不改变坡高 $A H$ 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡 $A C$ 的坡度 $i_{2} = 1 ： 2.4$ ，已知斜坡 $A B = 10$ 米，那么斜坡 $A C =$ 米．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - | - 1 | + {(s i n 60 ° - 1)}^{0} - t a n 45 °$

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O ， E$ 为 $A D$ 的中点， $A C = 4$ ， $O E = 2$ .求 $O D$ 的长及 $t a n ∠ E D O$ 的值.

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18. 如图，某海域有一小岛P，一艘轮船在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当轮船自西向东航行12海里到达B处，在B处测得小岛P位于北偏东30°方向上，若以点P为圆心，半径为10海里的圆形海域内有暗礁，那么轮船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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19. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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20. 如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 $B C = 8 ， t a n B \frac{1}{3}$ ， ∠C＝45°．

(1)、求AD的长；

(2)、求sin∠BAE的值．

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21. 如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合)，且点P到BA、BC的距离为PE、PF．

(1)、若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；

(2)、若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

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22. 小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学测量大树 $A B$ 的高度，如图， $A B ⊥ D E$ 于点B，在C处测得大树顶端A的仰角为 $45 °$ ，再从点C出发沿斜坡 $C F$ 前进10米到达D处，测得大树顶端A的仰角为 $30 °$ ，测得山坡脚C处的俯角为 $30 °$ （图中各点均在同一平面内，点E，C，B在同一水平线上）．

(1)、求小明从点C到达点D的过程中上升的高度是多少；

(2)、求这棵大树 $A B$ 的高度（结果取整数）．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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【A卷】第一章 直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共55分）

【A卷】第一章直角三角形的边角关系—2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试