【基础卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

试卷更新日期：2023-09-17 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知二次函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k$ 的图像与 $x$ 轴无交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > \frac{1}{2}$ B、 $k < 2$ C、 $k > 2$ D、 $k < \frac{1}{2}$ 且 $k \neq 0$

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2. 小兰画了一个函数 $y = x^{2} + a x + b$ 的图象如图，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的解是（）

A、无解 B、 $x = 1$ C、 $x = - 4$ D、 $x = - 1$ 或 $x = 4$

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3. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 与x轴交点个数情况为（）

A、有两个不同的交点 B、只有一个交点 C、没有交点 D、无法确定

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4. 由下表估算一元二次方程x²+12x＝15的一个根的范围，正确的是（）
x
1.0
1.1
1.2
1.3
x²+12x
13
14.41
15.84
17.29

A、1.0＜x＜1.1 B、1.1＜x＜1.2 C、1.2＜x＜1.3 D、14.41＜x＜15.84

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5. 若二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ，则方程 $a x^{2} - 2 a x + c = 0$ 的解为（　　）

A、 $x = - 1$ B、 $x_{1} = 3 ， x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 3 ， x_{2} = - 1$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} - b x - 5$ 与x轴交于（1，0）、（－3，0），则关于x的方程 $a x^{2} - b x = 5$ 的解为（）

A、1，3 B、1，－5 C、－1，3 D、1，－3

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7. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(- 1 ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为（）

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + k$ （k为常数）的图象与x轴的一个交点是 $(- 1 ， 0)$ ，则关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 的两个实数根是（）

A、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$

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9. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 无实数根，则抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c$ 的顶点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 二次函数y＝ax²+bx+c的部分图象如图所示，则方程a（x+3）²+b（x+3）+c＝2根是（）

A、x₁＝-4，x₂＝-3 B、x₁＝-3，x₂＝-2 C、x₁＝-2，x₂＝-1 D、x₁＝-1，x₂＝0

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值列表如下：
x
…
-3
0
1
3
5
…
y
…
7
-8
-9
-5
7
…
则一元二次方程 $a (2 x - 1)^{2} + b (2 x - 1) + c = 7$ 的解为．

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12. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 0.5$ 如图所示，利用图象可得方程 $x^{2} - 2 x + 0.5 = 0$ 的近似解为（精确到0.1）.

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13. 二次函数 $y = {ax}^{2} - 2 ax - m$ 的部分图象如图所示，则方程 ${ax}^{2} - 2 ax - m = 0$ 的根为．

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14. 已知函数 $y = (k - 3) x^{2} + 2 x + 0.5$ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．

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15. 已知方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为1和-3，则抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线.

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 一元二次方程x²+7x+9=1的根与二次函数y=x²+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．

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17. 画出函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 的图像，观察函数图象，请直接写出方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的根.

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18. 已知抛物线 $y = x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2}$ 与x轴有交点，求m的取值范围．

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19. 已知抛物线的解析式为 $y = x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} - 1$ ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．

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20. 若二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，求关于x的方程 $x^{2} + b x - 3 = 5$ 的解.

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 3, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，求关于x的一元二次方程 $a {(x - 1)}^{2} + c = b - b x$ 的解.

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22. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的顶点坐标为 $(1 ， 4)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A (3 ， 0)$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数解析式和点 $C$ 的坐标；

(2)、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为；

(3)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的取值范围是．

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x	1.0	1.1	1.2	1.3
x²+12x	13	14.41	15.84	17.29

x	…	-3	0	1	3	5	…
y	…	7	-8	-9	-5	7	…